Elementare Mechanik

Simulation von Massen und Kräften¶

Elementare Mechanik¶

Dieses einfache Gesetz ist der Schlüssel zum Verständnis der Bewegung von Massepartikeln unter dem Einfluss von Kräften. Massepartikel können fast alles sein: Elektronen, Bälle oder sogar Planeten. Kräfte können aus verschiedenen Gründen auftreten. Sie können aus elektrostatischer Anziehung, aus gespannten Gummibändern oder aus interplanetarer Gravitation stammen. Unabhängig von der Art der Masse oder der Art der Kraft beschreibt das obige Gesetz, wie sich die Geschwindigkeit eines Partikels ändert.

Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit. Daher beobachten wir eine einfache aber wichtige Konsequenz des obigen Gesetzes: Wenn keine Kräfte vorhanden sind, wird ein Partikel seine Geschwindigkeit beibehalten und für immer mit der gleichen Geschwindigkeit in die gleiche Richtung reisen. Sobald Kräfte vorhanden sind, können Partikel auf gekrümmten Bahnen reisen und sie können schneller werden und verlangsamen. Sie scheinen von oder zur Quelle der Kraft angezogen oder abgestoßen zu werden.

Grundsätzlich kann man, wenn die Anfangspositionen und Geschwindigkeiten sowie alle einwirkenden Kräfte bekannt sind, die Bewegung eines Partikelsystems genau rekonstruieren. Wenn wir den korrekten mathematischen Formalismus anwenden, führen solche Systeme normalerweise zu Differentialgleichungen. Diese Differentialgleichungen sind in gewisser Weise die mathematische Essenz, die die Bewegung des Systems beschreibt. Leider führen selbst eher kleine physikalische Systeme zu Differentialgleichungen, die nicht explizit lösbar sind. Sie können sogar chaotisches Verhalten zeigen, wie im folgenden System gezeigt (ein frei beweglicher Planet unter dem Einfluss von vier festen Sternen).

Dennoch kann man solche Differentialgleichungen durch numerische Methoden angehen. Diese numerischen Methoden modellieren ein kontinuierliches System durch diskrete Methoden. Das heißt, sie erfassen die Positionen, Geschwindigkeiten und Kräfte zu diskreten Zeitpunkten. Aus der Situation zu einem Zeitpunkt (Zeitstempel) (sagen wir t) versuchen solche numerischen Methoden zu schätzen, wie die Positionen und Geschwindigkeiten nach Ablauf eines Zeitintervalls delta aussehen werden. Zum Zeitstempel t + delta geht die numerische Methode mit den geschätzten Daten vor, um eine neue Schätzung für den nächsten Zeitstempel zu berechnen. Mit dieser Methode wird eine diskrete Folge von Positionen und Geschwindigkeiten erzeugt. Offensichtlich stimmt eine solche Folge nicht genau mit der physikalischen Realität überein. Wenn die numerische Schätzung jedoch gut ist und wenn die Zeitintervalle delta nicht zu groß sind, können sehr angemessene Näherungen der physikalischen Wahrheit erreicht werden. Darüber hinaus haben gute numerische Löser die Eigenschaft, dass (zumindest in den meisten Fällen) die berechnete Bewegung eine immer bessere Annäherung an die physikalische Realität wird, wenn die Zeitintervalle gegen null gehen.

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