Ansichten
Der Eintrag "Ansichten" in der Menüleiste bietet Elemente zum Öffnen von Fenstern mit verschiedenen Darstellungen einer geometrischen Konstruktion. Jede Ansicht ist eine Art "Projektion" der abstrakten Konfiguration auf einen sichtbaren Teil des Computerbildschirms. Normalerweise können Sie Konstruktionen und Manipulationen in jeder Ansicht durchführen. Die Änderungen werden sofort an die anderen Ansichten weitergeleitet. Insbesondere können Sie mehrere Ansichten desselben Typs haben (zum Beispiel zwei euklidische Ansichten mit verschiedenen Maßstäben).
Die Ansichten sind auch mit den verschiedenen Arten von Geometrien verbunden. Welche Ansicht für welche Geometrie geeignet ist, wird im Abschnitt Ansichten und Geometrien erörtert.
Euklidische Ansicht¶
Die euklidische Ansicht ist die übliche Zeichenfläche. Wenn Cinderella gestartet wird, erhalten Sie ein Fenster mit einer euklidischen Ansicht. Es ist das natürliche Fenster für euklidische Geometrie.
Die euklidische Ansicht hat ansichtsspezifische Steuertasten. Sie können zum Zoomen und Verschieben verwendet werden. Darüber hinaus werden sie zur Steuerung von Gittern und Einrastpunkten verwendet.
Verschiebungsmodus: Dieser Modus ermöglicht die Verschiebung des gesamten Koordinatensystems. Nachdem Sie diesen Modus ausgewählt haben, können Sie die Ansicht verschieben, während Sie die linke Maustaste drücken.
Vergrößern: Mit diesem Modus können Sie in die Zeichnung hineinzoomen. Die Operation ist das Gegenteil der Verkleinerungsoperation. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu tun:
- Mit einer Drücken-Ziehen-Freigeben-Sequenz markieren Sie ein Bereich. Die Ansicht wird so vergrößert, dass diese Region genau angezeigt wird.
- Sie können die linke Maustaste über eine beliebige Position in der Ansicht klicken. Die Ansicht wird um den Klickpunkt vergrößert. Der Zoomfaktor ist 1,4. Sie können auch die rechte Taste (oder Umschalt-Klick auf die linke Taste) klicken, um das Gegenteil dieser Zoomoperation zu erhalten.
Verkleinern: Mit diesem Modus können Sie die Zeichnung verkleinern. Die Operation ist das Gegenteil der Vergrößerungsoperation. Es gibt zwei Möglichkeiten, diesen Modus zu verwenden:
- Mit einer Drücken-Ziehen-Freigeben-Sequenz können Sie einen Bereich in der Ansicht markieren. Die Ansicht wird entsprechend verkleinert, sodass der aktuell sichtbare Teil zu dieser Region verkleinert wird.
- Sie können die linke Maustaste an einer beliebigen Stelle in der Ansicht klicken. Die Ansicht wird um den Klickpunkt verkleinert. Der Zoomfaktor ist 0,7. Sie können auch die rechte Taste (oder Umschalt-Klick auf die linke Taste) klicken, um das Gegenteil dieser Zoomoperation zu erhalten.
Alle Punkte anzeigen: Wenn Sie diese Schaltfläche drücken, werden die aktuellen Zoomeinstellungen angepasst, um alle Punkte der Konstruktion anzuzeigen.
Quadratgitter umschalten: Zeigt/verbirgt ein quadratisches Gitter in der Ansicht.
Dreiecksgitter umschalten: Zeigt/verbirgt ein dreieckiges Gitter in der Ansicht.
Achsen umschalten: Zeigt/verbirgt ein Koordinatensystem in der Ansicht.
Einrasten: Schaltet den "Einrasten"-Modus um. In diesem Modus sind die Gitterpunkte magnetisch und ziehen die Maus an. Dies ist das ideale Werkzeug für genaue Zeichnungen. Wenn Sie diesen Modus zum ersten Mal auswählen, werden das Gitter und die Achsen automatisch angezeigt. Sie können sie später einzeln ausblenden.
Feines Gitter: Gibt dem Gitter eine höhere Dichte.
Grobes Gitter: Gibt dem Gitter eine niedrigere Dichte.
Sphärische Ansicht¶
Die sphärische Ansicht ergibt sich aus einer Projektion der euklidischen Ebene auf die Oberfläche einer Kugel. Das Zentrum der Projektion ist das Zentrum der Kugel. Die Ebene durchläuft dieses Zentrum nicht.
Diese Projektion bildet jeden Punkt auf ein Paar antipodaler Punkte auf der Kugel ab. Jede Linie wird auf einen Großkreis (einen Äquator) auf der Kugel abgebildet. Die Inzidenzstruktur wird bewahrt. Die Arbeit mit der sphärischen Ansicht ermöglicht die Manipulation von Elementen im Unendlichen. Sie liegen auf der Grenze des Bildes der unrotierten Kugel.
Die sphärische Ansicht ist eine natürliche Möglichkeit, elliptische Geometrie darzustellen. Die Messung von Winkeln zwischen Linien entspricht der Messung von Winkeln auf der Kugel. Die Messung von Entfernungen entspricht der üblichen geodätischen Messung von Entfernungen auf der Kugel, wobei antipodale Punkte miteinander identifiziert werden.
Rotieren: Dieser Modus ermöglicht die Rotation der sphärischen Kugel (nach der Projektion). In diesem Modus können Sie die Ansicht drehen, indem Sie die Maus bewegen, während Sie die linke Taste gedrückt halten.
Startposition: Diese Aktion setzt die Rotation der sphärischen Ansicht auf die Ausgangsposition zurück. Nach dem Zurücksetzen entspricht die sichtbare Grenze der Kugel wieder der Linie im Unendlichen.
Der Schieberegler für den Maßstab: Mit diesem Schieberegler können Sie die Entfernung von der Kugel zur euklidischen Ebene steuern. Sie können diesen Schieberegler verwenden, um die richtige Vergrößerung der Zeichnung zu finden.
Hyperbolische Ansicht¶
Die hyperbolische Ansicht ist die natürliche Ansicht für hyperbolische Geometrie. Tatsächlich ist die Durchführung hyperbolischer Geometrie der Hauptgrund für das Öffnen einer hyperbolischen Ansicht. Die hyperbolische Ansicht ist eine Implementierung des Poincaré-Scheibenmodells der hyperbolischen Geometrie. In diesem Modell wird der endliche Teil der hyperbolischen Ebene durch eine Scheibe dargestellt. Jede Linie wird durch einen Kreisbogen dargestellt, der orthogonal zur Grenze dieser Scheibe ist. Die Messung von Winkeln zwischen Linien ist konform. Dies bedeutet, dass Sie Winkel ablesen können, indem Sie euklidische Winkel zwischen den Kreisbögen messen. Die Messung von Entfernungen ist so, dass die Elemente auf der Grenze "unendlich weit weg" von jedem anderen Punkt auf der Scheibe sind. Wenn Sie in hyperbolischen Einheitsschritten in eine Richtung "gehen", erreichen Sie nie die Grenze. In der Scheibe scheinen die Schritte immer kleiner zu werden (in euklidischer Messung).
Polare euklidische und sphärische Ansichten¶
Polarität ist ein wichtiges Konzept der projektiven Geometrie. Aufgrund der vollständigen Symmetrie zwischen Linien und Punkten ist es möglich, jede Aussage über Inzidenzen von Punkten und Linien in eine entsprechende "polare Aussage" umzuwandeln, in der die Rollen von Punkten und Linien vertauscht sind.
Cinderella bietet zwei polare Ansichten zur Visualisierung von Polarität. Die in Cinderella implementierte Polarität ist die Polarität in Bezug auf die Identitätsmatrix. In algebraischen Begriffen verwenden wir die homogenen Koordinaten eines Punktes und interpretieren sie als eine Linie und umgekehrt. Geometrisch findet dies seine einfachste Interpretation in der sphärischen Ansicht. Immer wenn Sie einen Punkt haben, betrachten Sie ihn als einen "Nordpol"; der entsprechende "Äquator" ist seine polare Linie. Immer wenn Sie eine Linie haben, betrachten Sie sie als einen "Äquator"; der entsprechende "Nordpol" ist ihr polarer Punkt. Die folgende Abbildung zeigt eine Konfiguration in der sphärischen Ansicht und in der polaren sphärischen Ansicht.
Polare Ansichtselemente sind auswählbar, aber das Verschieben ist deaktiviert. Wenn Sie Elemente verschieben möchten, müssen Sie sie in einer ursprünglichen Ansicht steuern.
Konstruktionstext¶
Der Konstruktionstext ist eine textuelle Beschreibung der Konstruktionsschritte. Jedes Element der geometrischen Konstruktion wird durch eine Zeile im Fenster des Konstruktionstextes dargestellt.
Jede Zeile zeigt ein kleines Symbol, das dem Element ähnelt, auf das es sich bezieht. Das Symbol wird in der Größe, Farbe und Form des Elements angezeigt. Dies macht es einfach, Elemente schnell zu identifizieren.
Der Konstruktionstext besteht aus vier Spalten. Die erste Spalte zeigt die Symbole. Die zweite Spalte zeigt die Bezeichnungen der geometrischen Elemente. Diese Bezeichnungen sind eindeutige Kennungen innerhalb der Konstruktion. Die dritte Spalte erklärt, wie das Element definiert ist. Die vierte Spalte stellt den aktuellen Wert des Elements dar. In den meisten Fällen ist dies die aktuelle Position in Bezug auf das Koordinatensystem. Mit dem Menü "Format" können Sie ändern, wie die Positionen oder Werte von Elementen angezeigt werden.
Die Texte, die im "Konstruktionstext" angezeigt werden, sind genau die drei Einträge, auf die im Text-Modus verwiesen werden kann.
Die vier Spalten werden durch vertikale Linien getrennt. Sie können diese Linien mit der Maus auswählen, um die Breite jeder Spalte zu steuern. Wenn der Text zu viele Zeilen für das Fenster hat, ist eine Bildlaufleiste auf der rechten Seite des Fensters zum Scrollen verfügbar.
Allgemeine Funktionen¶
In jeder Ansicht wird eine Werkzeugleiste am unteren Rand ansichtsspezifische Operationen angezeigt. Die Operationen, die für alle Ansichten gleich sind, werden nachfolgend beschrieben.
PDF generieren: Wenn Sie diese Schaltfläche drücken, wird der Inhalt der Ansicht in eine PDF-Datei exportiert.
Wählen Sie die Geometrie: Mit diesen Schaltflächen ändern Sie die aktuelle Geometrie. Alle geometrischen Konstruktionen beziehen sich auf diese Geometrie. Für eine detaillierte Diskussion von Geometrien konsultieren Sie die Kapitel Geometrien und Theoretischer Hintergrund.
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