Transformationsgruppen
Transformationsgruppen gehören vielleicht zu den anspruchsvollsten Objekten, die derzeit in Cinderella.2 verfügbar sind. Eine Transformationsgruppe wird aus einer Sammlung von Transformationen konstruiert. Eine Transformationsgruppe kann auf ein beliebiges geometrisches Objekt angewendet werden. Dieses Objekt wird abgebildet, indem die Elemente der Transformationsgruppe iterativ angewendet werden. Die Transformationsgruppe hat mehrere Anwendungen und strukturelle Merkmale. Wir werden sie anhand mehrerer konkreter Beispiele veranschaulichen. Es sei erwähnt, dass das Konzept der Transformationsgruppen in Cinderella sich vom mathematischen Begriff einer Transformationsgruppe unterscheidet. Die beiden Hauptunterschiede bestehen darin, dass eine Transformationsgruppe in Cinderella nicht unbedingt die Inversen der Transformationen enthält und dass nur eine große, aber endliche Anzahl von Iterationen durchgeführt werden.
Erstellen einer Transformationsgruppe¶
Wir werden zunächst erklären, wie man eine Transformationsgruppe konstruiert, die eine einfache pflanzenähnliche Struktur auf dem Bildschirm erzeugt. Dazu platzieren wir drei Punkte A, B und C wie in der Abbildung gezeigt und erstellen zwei Ähnlichkeitstransformationen A->B; C->C und A->A; C->B. Wenn man die beiden Ähnlichkeitstransformationen im Verschiebemodus mit Umschalt+Klick auswählt und dann den Modus Spezial->Transformationsgruppe wählt, wird eine Ansichtsschaltfläche für die Transformationsgruppe erstellt.
Wenn wir einen einzelnen Punkt D hinzufügen, ihn auswählen und auf die Schaltfläche der Transformationsgruppe klicken, wird ein ähnliches Bild wie folgt erstellt:
Dieses Bild wird erstellt, indem beide Transformationen auf den Punkt D angewendet werden. Dann werden beide Transformationen auf die erzeugten Bilder angewendet. Dieses Verfahren wird wiederholt, bis entweder eine bestimmte Iterationstiefe erreicht ist oder bis die Anzahl der Elemente eine bestimmte Grenze überschreitet. Diese Parameter können im Inspector der Transformationsgruppe gesteuert werden.
Die im Inspector kontrollierbaren Parameter werden standardmäßig auf alle abgebildeten Elemente angewendet. Das Ändern dieser Parameter ändert nicht die Parameter der abgebildeten Elemente. Parameter von bereits abgebildeten Elementen können geändert werden, indem man die ganze Gruppe von Elementen auswählt (durch Klick auf eines der erzeugten Bilder). Dann kann man ihre individuellen Einstellungen im Inspector ändern.
Die Erscheinungsdetails abgebildeter Elemente können durch den folgenden Teil des Inspektors gesteuert werden.
Man kann beobachten, dass die Punkte durch Segmente verbunden sind. Die Segmente veranschaulichen die Baumstruktur des Herleitungsprozesses. Man kann die verbindenden Äste durch den entsprechenden Schalter im Inspector ausschalten. Es ist auch möglich, nur die "Blätter" des erzeugten Baums zu zeichnen. Die folgende Tabelle zeigt alle vier Kombinationen zum Zeichnen der Punkte und ihrer Verbindung.
Elemente werden nur verbunden, wenn das abgebildete Element ein Punkt ist. Das folgende Bild zeigt die Abbildung eines zusätzlichen Kreises.
Transformationsgruppen und iterierte Funktionssysteme¶
Transformationsgruppen sind eng mit iterierten Funktionssystemen verwandt. Man kann das entsprechende IFS erzeugen, indem man eine Transformationsgruppe auswählt und den Spezial->IFS Modus wählt. Das folgende Bild zeigt die Wirkung einer Transformation, die einem Pythagoras-Baum entspricht. Das Bild auf der linken Seite zeigt das entsprechende IFS. Das IFS entspricht allen Grenzpunkten der Transformationsgruppe.
Transformationsgruppen mit Abhängigkeiten¶
Die bisher in den Beispielen betrachteten Transformationsgruppen waren im mathematischen Sinne "frei" (wenn die Koordinaten der steuernden Punkte allgemein genug gewählt waren). Das bedeutet, dass in diesem allgemeinen Fall, egal wie lange wir den Iterationsprozess fortsetzen, die gleiche zusammengesetzte Transformation niemals zweimal vorkommt. Wenn aber die Parameter der definierenden Transformationen in einer spezielleren Position sind, kann es vorkommen, dass es mehrere Möglichkeiten gibt, die gleiche Transformation durch Komposition zu erzeugen.
Nehmen Sie zum Beispiel eine einfache Spiegelung R. Wenn R zweimal angewendet wird, wird die Identitätsabbildung erzeugt. Zum Beispiel erzeugen R und R³ eine identische Transformation. Wenn die Transformationsgruppe wie zuvor durch eine einfache Aufzählung aller möglichen Kompositionen von Transformationen in der Gruppe erzeugt wird und R in der Gruppe enthalten ist, werden viele identische Transformationen konstruiert. Dies wäre eine unnötige Verschwendung von Rechenleistung und Speicher. Glücklicherweise ist Cinderella mit einer geometrischen Beweismaschine ausgestattet, die es ermöglicht, Transformationen zu vernachlässigen, wenn sie bereits zuvor erzeugt wurden. Diese Funktion wird verwendet, wenn das Kontrollkästchen Prover verwenden im Inspector aktiviert ist.
Wir veranschaulichen den Unterschied durch ein sehr einfaches Beispiel. Betrachten Sie zwei verschiedene Translationen P und Q. Da Translationen miteinander kommutieren, erzeugt das Anwenden von P nach Q den gleichen Effekt wie das Anwenden von Q nach P. Die folgenden Bilder veranschaulichen die Auswirkung der Verwendung oder Nichtverwendung des Provers.
Die erste Situation wird erzeugt, indem der Prover nicht verwendet wird. Ein gefüllter Kreis mit einer Deckkraft von 20 % wird durch eine Translationsgruppe abgebildet, die durch zwei Translationen erzeugt wird. Man kann beobachten, dass nicht viele verschiedene Kreise zu werden scheinen. Die Situation ist aber anders. Viele Kreise wurden erzeugt, von denen die meisten überlappt sind (man erkennt dies durch die zunehmende Deckkraft). Wenn stattdessen der Prover verwendet wird, wird das Bild auf der linken Seite erzeugt. Beträchtlich mehr Kreise sind sichtbar, von denen keine zwei überlappt sind. Der Prover hat alle überflüssigen Wiederholungen von Transformationen entfernt.
Ornamentgruppen¶
Es ist besonders interessant, ebene Ornamentgruppen (oder kristallographische Gruppen) mit dieser Funktion von Cinderella.2 zu untersuchen. Wir werden dies anhand von einigen einfachen Beispielen veranschaulichen. Betrachten Sie zunächst ein Dreieck aus drei Spiegeln, die Kantenwinkel von 90°, 45° und 45° bilden. Diese drei Spiegelungen erzeugen eine Spiegelungsgruppe wie ein kaleidoskopisches Prisma. Das Anwenden dieser Spiegelungsgruppe auf ein beliebiges geometrisches Objekt erzeugt ein schön symmetrisches Bild in der Ebene.
Als zweites Beispiel betrachten wir eine kristallographische Gruppe, die durch Rotationen erzeugt wird, die aus einem regelmäßigen Hexagon stammen. Wir zeichnen zuerst ein regelmäßiges Sechseck mit einem entsprechenden Polygone Modus. Dann definiert man eine 60°-Rotation um den Mittelpunkt und zwei 120°-Rotationen an zwei aufeinanderfolgenden Eckpunkten mit dem Ähnlichkeits Modus. Nach der Erzeugung einer Transformationsgruppe aus diesen Transformationen kann man wieder beliebige Objekte abbilden, um ein Ornamentmuster zu erhalten.
Die Erzeugungsreihenfolge¶
Es ist interessant zu untersuchen, welche Transformationen verarbeitet werden, wenn der Prover für eine Spiegelungsgruppe verwendet wird. Im Allgemeinen wird eine baumartige Struktur erzeugt, die jede Zelle der Spiegelungsgruppe genau einmal erreicht. Die folgenden Bilder zeigen die Situation für zwei verschiedene Spiegelungsgruppen. Die Standardeinstellungen von Transformationsgruppen werden verwendet. Dies erzeugt ungefähr 300 Elemente und verwendet den Prover. Wenn ein Punkt abgebildet wird, verbindet die standardmäßig verwendete Verbindungs-Funktion Punkte, die sich durch genau eine Transformation unterscheiden. Der Baum von Punkten stellt die Traversierungsreihenfolge der Elemente der Transformationsgruppe dar. Beobachten Sie, wie unterschiedliche Positionen der Spiegel zu strukturell sehr unterschiedlichen Bäumen führen.
Hyperbolische Transformationsgruppen¶
In der hyperbolischen Geometrie kann man besonders interessante Transformationsgruppen beobachten. Sie sind Verallgemeinerungen der üblichen kristallographischen Gruppen. Der Hauptgrund für die Existenz dieser interessanten symmetrischen Muster ist die Tatsache, dass es in der hyperbolischen Geometrie regelmäßige n-Ecke mit beliebig kleinen Scheitelpunktwinkeln gibt. Zum Beispiel gibt es regelmäßige Polygone mit 90°-Scheitelpunktwinkeln. Vier dieser Fünfecke passen genau um eine hyperbolische Ecke. Somit kann die hyperbolische Ebene nahtlos durch regelmäßige Fünfecke mit rechten Winkeln gekachelt werden. Wir werden zeigen, wie man ein solches Kachelmuster konstruiert.
Zuerst brauchen wir ein hyperbolisches Fünfeck mit rechten Winkeln. Dafür wechseln wir zur hyperbolischen Geometrie (siehe Geometrien) und öffnen eine hyperbolische Ansicht (siehe Ansichten). Dann muss man ein Fünfeck mit rechtem Winkel konstruieren. Dies kann mit dem Polygon->Regelmäßiges Fünfeck Modus getan werden. Wenn man die Größe des Fünfecks ändert, werden Einrast-Werte angezeigt, die angeben, wie viele Polygone um eine Ecke passen (siehe Polygone). Wenn man bei einem Einrast-Wert von 4 (Abbildung 1) stoppt, erhält man das gewünschte Fünfeck mit rechtem Winkel. Durch Wahl des Rotations Modus kann man zwei 90°-Rotationen um zwei Ecken des Fünfecks konstruieren (Abbildungen 2 und 3).
Das Erstellen der Transformationsgruppe dieser beiden Transformationen und das Abbilden aller Segmente erzeugt die gewünschte Kachelung.
Das folgende Bild zeigt die Anwendung dieser hyperbolischen Gruppe auf ein kleines Dreieck. Beachten Sie, dass es nur Rotationssymmetrie zeigt, aber keine Spiegelsymmetrie. Für das Bild wurde die Iterationstiefe erheblich erhöht.
Vorsicht¶
Transformationsgruppen mit großer Iterationstiefe können sehr zeit- und speicherintensiv sein. Daher können interaktive Zeichnungen durch Transformationsgruppen mit sehr großer Iterationstiefe erheblich verlangsamt werden. Schließlich können Transformationsgruppen sogar einen Out-of-Memory-Fehler verursachen.
Siehe auch¶
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