Komposition von Transformationen

Es ist auch möglich, neue Transformationen zu bilden, indem man zwei vorhandene kombiniert. Dafür wechselt man in den Kompositionsmodus und klickt dann auf die beiden zu kombinierenden Transformationen (es ist auch möglich, dieselbe Transformation zweimal zu klicken, um ihr Quadrat zu erhalten). Fast alle Kombinationen von Transformationen sind für Kompositionen zulässig; die wenigen Ausnahmen sind unten erklärt.

Kombination euklidischer Transformationen¶

Euklidische Rotationen, Linienspiegelungen und Translationen werden euklidische Transformationen genannt. Sie haben die Eigenschaft, dass sie euklidische Längen und Winkel unverändert lassen. Die Komposition solcher Transformationen führt zu einer weiteren euklidischen Transformation.

Ähnlichkeit¶

Translationen und Rotationen sind spezielle Arten von Ähnlichkeit. Im Gegensatz zu einer euklidischen Transformation kann eine Ähnlichkeit auch die abgebildeten Objekte skalieren. Eine Ähnlichkeit lässt Winkel und Längenverhältnisse unverändert. Die Kombination von Ähnlichkeiten, Rotationen und Translationen ergibt eine Ähnlichkeit. Die Kombination einer Ähnlichkeit mit einer Linienspiegelung führt zu einer reflektierenden Ähnlichkeit, die nicht explizit in Cinderella vorhanden ist, aber auf diese Weise erzeugt werden kann.

Affine Transformationen¶

Translationen, Linienspiegelungen, Rotationen und Ähnlichkeiten sind alle spezielle Arten von affinen Transformationen. Affine Transformationen verändern Längenverhältnisse nicht. Winkel sind jedoch nicht invariant. Die Kombination einer dieser Transformationen führt zu einer weiteren affinen Transformation. Affine Transformationen haben die besondere Eigenschaft, dass sie parallele Linien in parallele Linien transformieren.

Hyperbolische Transformationen¶

Wenn Sie zu hyperbolischer Geometrie wechseln (wie in der Geometrien Sektion beschrieben), werden alle Transformationen in hyperbolischer Form interpretiert. Insbesondere erhalten Sie hyperbolische Translationen und hyperbolische Rotationen. Ihre Kombination erzeugt eine weitere hyperbolische Transformation.

Elliptische Transformationen¶

Wenn Sie zur elliptischen Geometrie wechseln, werden alle Transformationen in elliptischer Form interpretiert. Insbesondere erhalten Sie elliptische Translationen und elliptische Rotationen. Ihre Kombination erzeugt eine weitere elliptische Transformation.

Projektive Transformationen¶

Alle zuvor beschriebenen Transformationen sind spezielle Arten von projektiven Transformationen. Somit können alle frei kombiniert werden, und das Ergebnis wird eine projektive Transformation sein.

Möbius-Transformationen¶

Möbius-Transformationen sind im Allgemeinen keine projektiven Transformationen. Darüber hinaus gibt es keine leicht darstellbare Obergruppe von Transformationen, die sowohl Möbius-Transformationen als auch projektive Transformationen enthält. Daher ist es in Cinderella nicht zulässig, Möbius-Transformationen und projektive Transformationen zu kombinieren. Aus ähnlichen Gründen ist es nicht zulässig, Möbius-Transformationen und affine Transformationen zu kombinieren.

Euklidische Transformationen sind jedoch spezielle Arten von Möbius-Transformationen, und daher ist es völlig zulässig, sie zu kombinieren. Es ist auch zulässig, eine Möbius-Transformation mit einer Spiegelung oder mit einer Kreisinversion zu kombinieren. Die charakteristische Eigenschaft von Möbius-Transformationen ist, dass sie Kreise und Linien auf Kreise und Linien abbilden.

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