Pappus-Theorem

Das Pappus-Theorem ist eines der fundamentalsten Theoreme der projektiven Geometrie. In gewisser Weise ist es das kleinste Beispiel eines Inzidenz-Theorems. In diesem Schritt-für-Schritt-Beispiel werden wir eine Instanz des Theorems konstruieren, die ausgewählt und gezogen werden kann.

Zeichnen Sie Ihren ersten Punkt¶

Wenn Sie Cinderella.2 starten, ist das erste Fenster, das erscheint, eine "Euklidische Ansicht". Dieses Fenster hat eine große Werkzeugleiste, die der Schlüssel zu den meisten Funktionen von Cinderella ist. Unterhalb dieser Werkzeugleiste befindet sich die Zeichenfläche, auf der Sie Operationen durchführen, indem Sie die benötigten Elemente konstruieren und ziehen.

Sie werden möglicherweise bemerken, dass in der Werkzeugleiste eine Schaltfläche leicht dunkler ist. Dies zeigt den aktuellen Modus von Cinderella an.

Alle Mausaktionen auf der Zeichenfläche beziehen sich auf den ausgewählten Modus. Um einen einzelnen Punkt zu zeichnen, müssen Sie zum Modus Punkt hinzufügen wechseln, indem Sie darauf klicken. Jetzt bewegen Sie die Maus über die Zeichenfläche und klicken Sie die linke Taste. Ein neuer Punkt wird hinzugefügt und mit einem Großbuchstaben beschriftet.

Bevor Sie einen zweiten Punkt hinzufügen, lesen Sie weiter. Wenn Sie die linke Maustaste gedrückt halten, während Sie einen Punkt hinzufügen, können Sie den Punkt bewegen. Die Definition des Punktes wird an die geometrische Situation am aktuellen Ort des Mauszeigers angepasst. (Bisher gibt es nicht viel Geometrie in unserer Zeichnung, aber das wird sich bald ändern.) Bewegen Sie die Maus über die Zeichenfläche, drücken Sie die linke Taste und halten Sie sie. Bewegen Sie nun die Maus. Sie werden bemerken, dass der neue Punkt dem Mauszeiger folgt. Es werden Koordinaten angezeigt, die die aktuelle Position angeben. Wenn Sie sich einem vorhandenen Punkt nähern (probieren Sie es aus), haftet der neue Punkt am alten Punkt. Nur nachdem Sie die Taste loslassen, wird der neue Punkt zur Konstruktion hinzugefügt. Wenn Sie die Maus über einem alten Punkt loslassen, wird kein neuer Punkt hinzugefügt. Spielen Sie mit diesen Funktionen und fügen Sie ein paar neue Punkte hinzu.

Rückgängigmachen einer Operation¶

Ihr Bildschirm sieht möglicherweise jetzt etwas überladen aus. Es gibt eine Rückgängig-Operation, die die Aktionen, die Sie durchgeführt haben, umkehrt. Durch Drücken der Schaltfläche "Rückgängig" bewirken Sie, dass der zuletzt hinzugefügte Punkt verschwindet. Klicken Sie auf die Schaltfläche "Rückgängig", bis genau zwei Punkte auf der Zeichenfläche verbleiben. Sie können die Schaltfläche "Rückgängig" jederzeit verwenden, wenn Sie einen Fehler machen. Sie können so viele aufeinanderfolgende Operationen rückgängig machen, wie Sie möchten.

Einen Punkt verschieben¶

Wir möchten unsere Konstruktion des Pappus-Theorems fortsetzen. Sie sollten die beiden verbleibenden Punkte A und B zunächst in etwa in die Positionen verschieben, die in Abbildung 3 gezeigt sind.

Wahrscheinlich befinden sich Ihre Punkte noch nicht dort. Um sie zu verschieben, wählen Sie den Verschiebenmodus durch Drücken der Schaltfläche "Verschiebenmodus" in der Werkzeugleiste. Nun fügen Mausaktionen auf der Zeichenfläche nicht mehr Punkte hinzu; stattdessen können Sie Punkte auswählen und sie umher bewegen. Bewegen Sie den Mauszeiger über den Punkt, den Sie verschieben möchten. Drücken Sie die linke Maustaste. Halten Sie sie und ziehen Sie die Maus. Der Punkt folgt dem Mauszeiger. Sie werden auch bemerken, dass sich ein Punkt in diesem Modus nicht an anderen Punkten festsetzt. Wenn Sie die Maustaste loslassen, wird der Punkt platziert. Im Allgemeinen ermöglicht der Verschiebenmodus, freie Elemente einer Konstruktion zu verschieben. Der Rest der Konstruktion ändert sich entsprechend.

Hinzufügen einer Linie¶

Wir werden nun eine Linie von A zu B hinzufügen. Wechseln Sie zum Modus Linie hinzufügen durch Drücken der Schaltfläche . In diesem Modus können Sie mit einer Drücken-Ziehen-Loslassen-Abfolge mit der Maus eine Linie zwischen zwei Punkten hinzufügen. Bewegen Sie sich über Punkt A. Drücken Sie die linke Maustaste. Halten Sie sie und bewegen Sie die Maus über Punkt B. Lassen Sie die Maus los.

Diese Aktion sollte die gewünschte Linie erstellt haben. Sie könnten einige Dinge bemerkt haben: Wenn Sie die Maus über Punkt A drückten, wurde der Punkt hervorgehoben. Dies bedeutet, dass Sie diesen Punkt als Startpunkt der Linie ausgewählt haben. Während Sie die Maus ziehen, ist immer ein zweiter Punkt an der Mausposition vorhanden. Wenn Sie die Maustaste loslassen, wird dieser zweite Punkt an der Loslassposition hinzugefügt. Wenn Sie sich einem anderen Punkt nähern, wird er hervorgehoben, und der zweite Punkt setzt sich daran fest. Dies ist die Aktion, die Sie zum Anbringen der Linie an Punkt B verwendet haben.

Wenn Sie diese Dinge nicht bemerkt haben oder einen Fehler gemacht haben, machen Sie Ihre Operationen rückgängig und versuchen Sie es erneut. Ihr finales Bild sollte wie Abbildung 4 aussehen, bevor Sie fortfahren.

Weitere Linien hinzufügen¶

Jetzt sind Sie bereit, drei weitere Linien hinzuzufügen, um mit Abbildung 5 zu enden. Sie können dies mit nur drei Mausoperationen tun. Bewegen Sie sich zuerst über Punkt B und drücken-ziehen Sie zur Position des noch nicht vorhandenen Punktes C. Führen Sie ein weiteres Drücken-Ziehen-Loslassen von C zu D durch, und schließlich von D zu E.

Beachten Sie, dass Sie all dies getan haben, ohne den Modus "Linie hinzufügen" zu verlassen. Sie haben unnötige Arbeit geleistet, als Sie die Punkte A und B im Modus Punkt hinzufügen hinzugefügt haben. Sie hätten dies direkt im Modus Linie hinzufügen tun können, da nicht nur der zweite Punkt erstellt wird, sondern auch der erste. Die bisherigen Linien wurden automatisch mit den Kleinbuchstaben a bis d beschriftet.

Schnittpunkte erstellen¶

Wir bleiben im Modus Linie hinzufügen. Jetzt möchten wir eine Linie vom Punkt E zum Schnittpunkt der Linien a und c zeichnen. Bewegen Sie die Maus über E. Drücken Sie die Taste. Halten Sie sie und bewegen Sie sich zum Schnittpunkt von a und c. Lassen Sie die Maus los.

Wenn Sie sich dem Schnittpunkt der Linien näherten, wurden sie hervorgehoben und der Endpunkt der neuen Linie setzte sich am Schnittpunkt fest. Wenn Sie die Maus loslassen, wird der neue Punkt als der Schnittpunkt der Linien definiert. Wenn Sie einen der Punkte A bis E verschieben, folgt die neue Linie den Verschiebungen entsprechend.

Der neue Punkt F ist leicht dunkler gezeichnet. Dies bedeutet, dass es nicht möglich ist, F im Verschiebenmodus frei zu bewegen. Somit ist F ein "abhängiger" Punkt. Die anderen Punkte in der Konstruktion sind "frei."

Zwei Dinge sind erwähnenswert: Mit dem gleichen Verfahren hätten Sie auch einen "halbfreien" Punkt hinzufügen können, der an nur einer Linie gebunden ist. Dazu müssen Sie die Maus loslassen, wenn Sie sich nur über einer Linie befinden. Alle diese Operationen zum Erstellen von Schnittpunkten (abhängige Punkte), freien und halbfreien Punkten funktionieren ähnlich im Modus Punkt hinzufügen. Viele andere Modi, die interaktiven Modi, haben diese Funktion auch. Durchsuchen Sie den Referenzleitfaden dieses Handbuchs für weitere Informationen.

Beendigung der Zeichnung¶

Jetzt sollte es für Sie einfach sein, die Zeichnung zu beendigen, indem Sie vier weitere Linien hinzufügen, um die endgültige Konfiguration wie in Abbildung 7 gezeigt zu erreichen. Fügen Sie zunächst eine Linie vom Punkt A zum Schnittpunkt von b und d hinzu. Dann zeichnen Sie zwei Linien von A zu D und von B zu E. Zeichnen Sie abschließend eine Linie von C zum Schnittpunkt von e und f.

Sie haben eine Konfiguration aus acht Punkten und neun Linien erstellt. Wenn Sie die Konfiguration betrachten, werden Sie bemerken, dass die Linien g, h und k sich, wenn alles korrekt gemacht wurde, in einem Punkt treffen. Dass dies immer der Fall ist in einer solchen Konstruktion, ist der Inhalt des Pappus-Theorems. Wechseln Sie zum Verschiebenmodus durch Klicken auf in der Werkzeugleiste, und ziehen Sie um die freien Punkte der Konstruktion herum, um sich von der Wahrheit dieses Theorems zu überzeugen. Dieses Theorem war den antiken griechischen Geometern bekannt und ist nach Pappus von Alexandria benannt, der im vierten Jahrhundert n. Chr. lebte. Später erwies sich das Theorem als von grundlegender Bedeutung für die Theorie der projektiven Geometrie.

Auswahl und Änderung des Aussehens einer Zeichnung¶

Ihnen gefällt möglicherweise das Aussehen einer Zeichnung nicht. Die Linien können zu dünn sein, und vielleicht möchten Sie die abschließende Schlussfolgerung des Theorems hervorheben. Dies kann mit dem Inspector von Cinderella.2 geändert werden. Wählen Sie dazu das Menüelement "Edit/Information". Das folgende Fenster wird angezeigt:

Es gibt mehrere Registerkarten im Inspector, die sich auf verschiedene Aspekte der Konstruktion und der ausgewählten Objekte beziehen. Um das Aussehen von Objekten zu ändern, gehen Sie zur Registerkarte "Aussehen", indem Sie auf die Schaltfläche klicken. Wenn keine Elemente ausgewählt sind, zeigt der Inspector, dass keine zu bearbeitenden Attribute vorhanden sind.

Sobald ein Element ausgewählt ist, werden die bearbeitbaren Attribute dieses Elements angezeigt. Wählen Sie nun alle Linien aus, indem Sie auf die Schaltfläche "Alle Linien auswählen" klicken. Das Inspector-Fenster sieht dann wie folgt aus:

Änderungen im Inspector werden sofort auf ausgewählte Elemente angewendet. Wenn Sie jetzt den Schieberegler "Liniengröße" im Inspector auf das dritte Häkchen verschieben, werden alle Linien dicker. Danach wechseln Sie zum Verschiebenmodus . Wenn Sie nun auf ein oder mehrere Elemente klicken, werden diese Elemente ausgewählt. Wenn Sie die Umschalttaste halten und klicken, wird der Auswahlstatus des Elements umgeschaltet.

Klicken Sie auf die Linie k, und halten Sie dann die Umschalttaste gedrückt und klicken Sie auf die Linien h und g. Die Linien g, h und k sollten hervorgehoben sein. Klicken Sie auf das rote Farbfeld in der Farbpalette des Inspectors. Die Farbe der drei Linien ändert sich von blau zu rot. Sie können die Größe dieser Linien auch ändern, indem Sie den Schieberegler "Liniengröße" auf das vierte Häkchen verschieben. Schließlich deselektieren Sie alles, indem Sie auf die Schaltfläche klicken.

Hinzufügen eines finalen Punktes und Beweisen eines Theorems¶

Bevor Sie fortfahren, öffnen Sie das Informationsfenster von Cinderella, indem Sie das Menüelement Views/Information Window wählen. Ein Konsolenfenster wird angezeigt. Cinderella.2 verwendet diese Konsole, um nicht triviale Fakten über eine Konfiguration zu melden.

Wir werden nun einen finalen Punkt am Schnittpunkt der drei roten Linien erstellen. Dieses Mal werden wir einen Punkt hinzufügen, indem wir zum Modus Schnittpunkt wechseln. Dieser Modus erwartet, dass Sie zwei Linien markieren. Ein neuer Punkt wird am Schnittpunkt dieser beiden Linien hinzugefügt. Klicken Sie auf zwei der roten Linien, sagen wir g und h. Ihr Schnittpunkt wird hinzugefügt.

Beachten Sie, dass der neu hinzugefügte Punkt K immer auf der Linie k liegt, weil des Pappus-Theorems. Die Informationskonsole meldet diese bemerkenswerte Tatsache automatisch.

Sie könnten sich fragen, wie dieses "Theorem-Beweisen" funktioniert. Cinderella verwendet keine symbolischen Methoden, um einen formalen Beweis zu erstellen, sondern eine Technik namens "randomisiertes Theorem-Checking". Zunächst wird die Vermutung "es sieht so aus, dass die Linie k immer durch den Punkt K verläuft" generiert. Dann wird die Konfiguration in viele verschiedene Positionen verschoben, und für jede davon wird überprüft, ob die Vermutung zutrifft. Es mag lächerlich klingen, aber genug (!) zufällige (!) Beispiele zu generieren, bei denen das Theorem zutrifft, ist mindestens so überzeugend wie ein computergestützter symbolischer Beweis. Cinderella verwendet diese Methode immer wieder, um seine eigenen Datenstrukturen sauber und konsistent zu halten.

Verschieben von Punkten ins Unendliche¶

Lassen Sie uns die Symmetrieeigenschaften des Pappus-Theorems erkunden. Für ein schöneres Bild möchten wir uns der Linienbeschriftungen entledigen und die Punkte und Linien etwas kleiner machen. Wählen Sie zunächst alle Linien mit aus. Deaktivieren Sie die Beschriftung durch Drücken der entsprechenden Schaltfläche im Inspector. Ändern Sie die Liniengröße auf "dünn" (verwenden Sie den Schieberegler im Inspector). Wählen Sie dann alle Punkte mit aus. Machen Sie sie kleiner, indem Sie den Schieberegler "Punktgröße" im Inspector verwenden (beachten Sie, dass der Inspector immer Informationen über die ausgewählten Elemente anzeigt). Wählen Sie nun die Menüoption "Views/Spherical View". Was Sie bekommen, wird auf den ersten Blick nicht sehr instruktiv aussehen.

Die sphärische Ansicht zeigt eine Zentralprojektion der Ebene auf die Oberfläche einer Kugel. Der Projektionspunkt ist der Mittelpunkt der Kugel (siehe Abbildung 15). Jeder Punkt wird auf ein Paar antipodaler Punkte abgebildet, und jede Linie wird auf einen Großkreis (ein Kreis auf der Kugel, der sie in zwei gleiche Hemisphären teilt) der Kugel abgebildet.

In der sphärischen Ansicht gibt es einen kleinen roten Schieberegler zum Steuern des Abstands der Kugel zur ursprünglichen Ebene. Das Verschieben dieses Schiebereglers entspricht einer Art "Zoom"-Operation auf der Kugel. Bitte verschieben Sie den Schieberegler von seiner ursprünglichen Position viel weiter nach rechts. Dann sollte die Situation auf der Kugel klarer werden. Wenn Sie den Schieberegler richtig eingestellt haben, sollte es ungefähr wie Abbildung 16 aussehen. Sie sollten die ursprüngliche Konstruktion deutlich erkennen, jetzt auf der Oberfläche dieser Kugel gezeichnet.

Das Bild bedarf einer Erklärung: Für jeden Punkt in der Ebene betrachten Sie die Linie, die vom Punkt und dem Mittelpunkt der Kugel aufgespannt wird. Der Schnittpunkt dieser Linie mit der Oberfläche der Kugel ergibt das Paar antipodaler Punkte. Für jede Linie betrachten Sie die Ebene, die von der Linie und dem Mittelpunkt der Kugel aufgespannt wird. Der Schnittpunkt dieser Ebene und der Oberfläche der Kugel ist der Großkreis, der die Linie in der sphärischen Ansicht darstellt.

Auf der Kugel gibt es Punkte, die keine Entsprechung in der Euklidischen Ebene haben. Wenn die Kugel die Euklidische Ebene am "Südpol" berührt, entspricht der Äquator der Kugel den "Punkten im Unendlichen" in der üblichen Euklidischen Ebene. In Cinderella ist es möglich, Manipulationen in jeder aktuell geöffneten Ansicht durchzuführen. Daher können Sie auch Punkte in der sphärischen Ansicht verschieben. Die Änderungen werden sofort der Euklidischen Ansicht mitgeteilt. Insbesondere können Sie einen Punkt in der sphärischen Ansicht greifen und ihn zu dem verschieben, das wirklich unendlich in der Euklidischen Ansicht ist.

Wir werden das jetzt tun, um zu beobachten, dass unsere Konfiguration eine schöne dreifache Symmetrie hat. Wählen Sie Punkt A (in der sphärischen Ansicht) und verschieben Sie ihn zur 11-Uhr-Position der Grenze. Dieser Punkt befindet sich jetzt wirklich "im Unendlichen". Beachten Sie, dass in der Euklidischen Ansicht die Linien, die durch A verlaufen, parallel wurden, was dem Begriff entspricht, dass "parallele Linien sich im Unendlichen treffen." Ähnlich verschieben Sie den Punkt E zur 7-Uhr-Position auf der Grenze und verschieben Sie den Punkt C zur 3-Uhr-Position. Ihr sphärisches Bild sollte dann wie die Kugel in Abbildung 17 aussehen. In der Euklidischen Ansicht finden Sie drei Büschel paralleler Linien, die eine Art Euklidische Spezialisierung des Pappus-Theorems darstellen. Wenn Sie möchten, können Sie versuchen, die entsprechende Aussage in Bezug auf Parallelen und Inzidenzen herauszufinden.

Es kann vorkommen, dass die Zeichnung in der Euklidischen Ansicht zu groß oder zu klein ist. Sie können die Zoom-Tools verwenden, um dies zu ändern. Es gibt ein "Zoom-In"-Tool und ein "Zoom-Out"-Tool unterhalb der Euklidischen Ansicht. Mit einer Drücken-Ziehen-Loslassen-Abfolge können Sie die zu vergrößernde oder verkleinernde Region markieren.

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