Geometrien

Eine der Hauptmerkmale von Cinderella ist die Unterstützung verschiedener Arten von Geometrien. Wenn Sie nicht mit der Idee vertraut sind, dass es „verschiedene Arten von Geometrie" gibt, kann dies verwirrend klingen. Sie sollten den Abschnitt Theoretischer Hintergrund lesen, um ein Gefühl für die zugrunde liegenden Ideen zu bekommen und wie sie in Cinderella implementiert sind. Nutzer, die bereits über grundlegende Kenntnisse euklidischer und nichteuklidischer Geometrien verfügen, könnten mit dem Lesen dieses Referenzteils zufrieden sein.

Eine weitere Warnung: Verwechseln Sie nicht Geometrien mit Ansichten; beide haben ähnliche Varianten, aber die erste definiert das Verhalten von Elementen, während die zweite die Präsentation von Elementen beschreibt.

Arten von Geometrie¶

In jedem Hauptfenster von Cinderella finden Sie drei Schaltflächen zur Auswahl der Geometrieart. In der aktuellen Version stellt Cinderella drei verschiedene Arten von Geometrie zur Verfügung: Euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie und elliptische Geometrie. Sie können zwischen diesen drei Geometrien wechseln, indem Sie die Schaltfläche für euklidische Geometrie, für hyperbolische Geometrie oder für elliptische Geometrie drücken.

Die Wahl einer neuen Geometrie beeinflusst nicht das Verhalten der Elemente, die Sie bereits konstruiert haben. Jedoch wird jedes neu hinzugefügte Element in Bezug auf die neue Geometrie interpretiert. Sie können sich vorstellen, dass jedes Element einen Eintrag hat, der angibt, zu welcher Geometrie es gehört. Die grundlegenden Konzepte, die von der Wahl der Geometrie beeinflusst werden, sind die Messungen von Abständen und Winkeln.

Jedoch werden auch andere Konstruktionen durch diese Wahl beeinflusst. Zum Beispiel ist die Winkelhalbierende definiert als eine Linie, deren Winkel zu zwei anderen Linien gleich sind. Wenn sich die Messung von Winkeln geändert hat, muss sich auch die Definition der Winkelhalbierenden ändern. Ähnliches passiert mit „Parallelen" und „Senkrechten". Die Definition eines Kreises wird auch durch die Geometrie beeinflusst. Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die denselben gegebenen Abstand zum Mittelpunkt haben. Wenn die Vorstellung von „Abstand" geändert wird, ändert sich auch das Konzept des „Kreises".

Andere Operationen werden durch die Wahl der Geometrie überhaupt nicht beeinflusst: die Linie, die zwei Punkte verbindet, wird immer gleich sein, egal in welcher der oben genannten Geometrien Sie sich befinden.

Die folgende Liste sammelt alle Konstruktionen, die durch die Wahl der Geometrie beeinflusst werden. Beachten Sie, dass sich sowohl die Position als auch die Anzahl der konstruierten Elemente ändern können.

Abstand: Der Begriff des Abstands hängt von der Geometrie ab. Es kann sogar vorkommen, dass in der hyperbolischen Geometrie Abstände von realen Punkten zu komplexen Zahlen werden, zum Beispiel wenn die Linie, die beide Punkte verbindet, vollständig außerhalb des Horizonts liegt.
Winkel: Der Begriff des Winkels hängt von der Geometrie ab. Wie bei Abständen können auch Winkel zu komplexen Zahlen werden.
Kreis: Der genaue Begriff der Zirkularität hängt von der Definition von „Abstand" ab, die in jeder Geometrie unterschiedlich ist. Dies beeinflusst alle Konstruktionsmodi für Kreise. In der euklidischen Ansicht können hyperbolische oder elliptische Kreise wie beliebige Kegelschnitte aussehen. Das Bild wird in den anderen Ansichten verdeutlicht. In der hyperbolischen Ansicht (Poincaré-Scheibe) sehen hyperbolische Kreise wirklich wie Kreise aus. In der sphärischen Ansicht sehen elliptische Kreise wie Kreise auf der Oberfläche einer Kugel aus.
Spiegelung: Der Begriff der Reflexion hängt von Abständen und Winkeln ab und hängt daher von der Geometrie ab. Alle Arten von Spiegeln werden auf diese Weise beeinflusst.
Winkelhalbierende: In allen drei Geometrien gibt es zwei Winkelhalbierenden für eine Linie. Jedoch hängt die genaue Position von der Wahl der Geometrie ab. In der hyperbolischen Geometrie können Winkelhalbierenden von realen Linien komplex werden.
Mittelpunkt: Der Mittelpunkt von zwei Punkten hängt von der Definition von „Abstand" ab. In der euklidischen Geometrie gibt es genau einen solchen Mittelpunkt. In der hyperbolischen und elliptischen Geometrie gibt es zwei solche Mittelpunkte (Punkte mit gleichem Abstand zu den definierenden Punkten). Vorsicht: Wenn Sie sich in der „hyperbolischen Ansicht" befinden, ist nur einer dieser Punkte sichtbar, da der andere außerhalb des Horizonts liegt.
Linie mit festem Winkel: Diese Konstruktion wird durch die Wahl der Geometrie beeinflusst, da Winkel beteiligt sind.
Senkrechte: Der Begriff einer Senkrechten hängt vom Begriff des „Winkels" ab und wird durch die Wahl der Geometrie beeinflusst.
Parallel: In Cinderella werden Parallelen einer Linie L als Linien definiert, die einen Winkel von Null zu L haben. In der euklidischen Geometrie gibt es eine eindeutige Parallele zu L durch einen Punkt. Jedoch gibt es in der hyperbolischen und elliptischen Geometrie im Allgemeinen zwei solche Parallelen. Die Parallelen in der elliptischen Geometrie haben normalerweise komplexe Koordinaten, so dass Sie sie nur in der Ansicht „Konstruktionstext" sehen.

In der aktuellen Version von Cinderella werden einige Operationen nicht in allen Geometrien unterstützt. Diese Operationen sind Kreis durch drei Punkte, Fläche und Mittelpunkt, wobei das euklidische Ergebnis immer berechnet wird.

Ansichten und Geometrien¶

Obwohl jede Geometrie mit jeder Ansicht verwendbar ist, sind einige Kombinationen etwas häufiger als andere. Hier ist eine kurze Liste, was diese gängigen Kombinationen darstellen.

Euklidische Ansicht in euklidischer Geometrie: Dies ist wahrscheinlich die häufigste Wahl. Die geometrischen Elemente verhalten sich wie „übliche Elemente" in einer „üblichen Ebene".

Sphärische Ansicht in euklidischer Geometrie: Diese Wahl gibt Ihnen Kontrolle über das Verhalten „im Unendlichen" der euklidischen Ebene. Die sphärische Ansicht stellt eine doppelte Überdeckung der euklidischen Ebene dar. Jede Linie wird auf einen Großkreis abgebildet und jeder Punkt wird auf ein Antipodenpaar abgebildet. Die Grenze der nicht gedrehten Ansicht entspricht der „Linie im Unendlichen" der euklidischen Ebene.

Euklidische Ansicht in hyperbolischer Geometrie: Was Sie hier sehen, ist das „Beltrami-Klein"-Modell der hyperbolischen Geometrie. In diesem Modell sind hyperbolische Linien wirklich gerade. Die Messung wird nach den Definitionen der Cayley-Klein-Geometrie durchgeführt. In der euklidischen Ansicht wird der Horizont der hyperbolischen Geometrie als dünner Kreis angezeigt.

Hyperbolische Ansicht in hyperbolischer Geometrie: Dies ist das so genannte Poincaré-Disk. Hyperbolische Linien werden durch Kreisbögen dargestellt, die die Grenze der Scheibe rechtwinklig kreuzen. Die Poincaré-Scheibe verzerrt die übliche Ebene so, dass hyperbolische Winkel zwischen Linien „euklidischen" Winkeln zwischen den entsprechenden Kreisbögen entsprechen. In mathematischer Hinsicht ist die Poincaré-Scheibe eine konforme Darstellung der hyperbolischen Ebene. In diesem Bild sehen hyperbolische Kreise wirklich zirkulär aus.

Die ganze Scheibe stellt nur einen Teil der vollständigen Ebene der entsprechenden Cayley-Klein-Geometrie dar. Der angezeigte Teil entspricht der Region innerhalb des in der euklidischen Ansicht angezeigten Kreises. Die Messung der Abstände ist so, dass der Abstand von jedem Innenpunkt zu jedem Punkt auf der Grenze unendlich ist.

Sphärische Ansicht in elliptischer Geometrie: Die sphärische Ansicht ist die natürliche Ansicht für elliptische Geometrie. Der Winkel zwischen zwei Linien entspricht den sphärischen Winkeln der entsprechenden Großkreise. Die Messung von Abständen entspricht der geodätischen Messung von Abständen auf der Oberfläche einer Kugel. Elliptische Kreise entsprechen Kreisen auf der Oberfläche der Kugel.

Jedoch muss man etwas vorsichtig sein. Elliptische Geometrie ist nicht äquivalent zur sphärischen Geometrie (Geometrie auf der Kugel). Dies kommt daher, dass in der elliptischen Geometrie antipodal Punkte der Kugel miteinander identifiziert werden.

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