Ein dynamisches Geometrieprogramm

Hier werden wir kurz skizzieren, wie man Cinderella.2 als reines Geometrieprogramm nutzt (ohne die Skriptfunktionen und die Simulationsmaschine auszunutzen). Besonders werden wir mehrere Anwendungsbereiche hervorheben, in denen es vorteilhaft ist, Cinderella zu verwenden.

Beispielanwendungen¶

Die Anwendungsbereiche von Cinderella reichen von reiner euklidischer (und nicht-euklidischer) Geometrie über Physik (z.B. Optik) bis zu Computational Kinematics und computergestütztem Design (CAD). Die folgenden Beispielanwendungen bieten mögliche Szenarien, in denen Sie von der Verwendung von Cinderella profitieren können.

Genaue Zeichnungen¶

Angenommen, Sie schreiben eine wissenschaftliche Publikation, für die Sie eine oder mehrere Abbildungen benötigen. Wenn die Zeichnungen etwas komplizierter sind, ist es normalerweise fast unmöglich, beim ersten Versuch eine perfekte zu erstellen.

Entweder haben Sie viele Elemente an fast derselben Stelle, oder einige Teile der Abbildung passen nicht auf die Seite.

Mit Cinderella erstellen Sie zunächst eine Computerzeichnung einer Konstruktion. Diese Zeichnung sieht möglicherweise nicht wie die endgültige Zeichnung aus, die Sie erwartet haben. Sie enthält jedoch alle Beziehungen, die für die Konstruktion notwendig sind. Nachdem Sie eine Skizze erstellt haben, wählen Sie die Basiselemente aus und verschieben sie, bis das Bild alle Ihre ästhetischen Anforderungen erfüllt. Während der "Verschiebungsphase" haben Sie immer eine gültige Instanz Ihrer geometrischen Konstruktion. Abschließend verwenden Sie Cinderellas Inspektor, um die Farbe und Größe jedes geometrischen Elements anzupassen.

Geometrischer Rechner¶

Manchmal möchte man ein Gefühl für eine geometrische Situation bekommen. Entweder haben Sie etwas Interessantes in einem Geometriebuch gelesen oder Sie haben selbst eine neue Idee.

Sie führen die Konstruktion mit Cinderella durch und fangen an, damit zu spielen. Durch geometrische Erkundung gewinnen Sie neue Erkenntnisse, und oft werden verborgene Eigenschaften der Konstruktion offenbart. Die mathematisch konsistente Implementierung von Cinderella stellt sicher, dass keine seltsamen Effekte auftreten, die nicht wirklich von der Konfiguration stammen.

Wenn Sie Ihre Forschung anderen Kollegen mitteilen möchten, können Sie eine interaktive Webseite erstellen und im Internet veröffentlichen. Dann haben Ihre Kollegen sofortigen Zugriff auf die Konfiguration und können damit lokal in ihren Java-fähigen Webbrowsern interagieren.

Interaktive Arbeitsblätter und Schülerübungen¶

Eine weitere interessante Anwendung ist die Erstellung von interaktiven Arbeitsblättern oder Schülerübungen. Mit Cinderella ist es einfach, jede Konstruktion ins Internet zu exportieren. Dadurch können Sie eine unendliche Vielfalt von interaktiven mathematischen Arbeitsblättern erstellen. Mit geeigneten Programmiertechniken ist es sogar möglich, interaktive Schülerübungen zu erstellen. Stellen Sie sich vor, Sie möchten Schülern beibringen, wie man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks nur mit Lineal und Zirkel konstruiert. Zuerst führen Sie die Konstruktion selbst durch. Mit dieser Musterzeichnung können Sie eine Übung erstellen, die einen Benutzer Schritt für Schritt durch die Konstruktionsaufgabe leitet. Die erforderlichen Programmiertechniken werden im Abschnitt Interaktive Übungen vorgestellt.

Die Schüler können die Übungen auf ihren eigenen Computern lösen und zu einer Lösung vollständig eigenständig oder unter Verwendung von Hinweisen gelangen, die Sie bereitgestellt haben. Egal welche Konstruktion ein Schüler zur Lösung des Problems verwendet hat, die integrierten automatischen Theorem-Prüfungs-Funktionen von Cinderella können entscheiden, ob sie korrekt ist. Die Kreativität des Schülers beim Finden einer Lösung wird durch das Programm nicht eingeschränkt.

Design und Funktionen¶

Mehrere wichtige Designziele leiteten uns bei der Entwicklung von Cinderella. Wir möchten die drei wichtigsten erwähnen, um Ihnen einen Eindruck von der Gesamtarchitektur des Programms zu vermitteln.

Allgemeine Ansätze¶

Cinderella ist so gestaltet, dass es eine breite Palette geometrischer Disziplinen abdeckt. Das Programm bietet "native Unterstützung" für euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie, elliptische Geometrie und projektive Geometrie.

Das bedeutet, dass Sie hyperbolische Geometrie nicht durch komplizierte euklidische Konstruktionen simulieren müssen. Sie können den "hyperbolischen Modus" von Cinderella verwenden, und die Konstruktionen verhalten sich wie Elemente der hyperbolischen Ebene.

Cinderella erreicht dies durch die Implementierung sehr allgemeiner mathematischer Ansätze zur Geometrie, die einen gemeinsamen Hintergrund für alle oben genannten Bereiche bilden. Ein großer Teil der Mathematik hinter Cinderella nutzt die großen und leider fast vergessenen geometrischen Leistungen der Geometer des neunzehnten Jahrhunderts. Wir möchten nur einige wenige erwähnen: Monge und Poncelet, die die projektive Geometrie "erfanden"; Plücker, Grassmann, Cayley und Möbius, die eine schöne algebraische Sprache zur Behandlung der projektiven Geometrie entwickelten; Gauss, Bolyai und Lobachevsky, die das "entdeckten", was heute hyperbolische Geometrie genannt wird; und schließlich Klein, Cayley und Poincaré, die es schafften, eine einheitliche Beschreibung der euklidischen und nicht-euklidischen Geometrien in Bezug auf projektive Geometrie und komplexe Zahlen zu erreichen. Für eine hervorragend geschriebene und spannende Einführung in die historische Entwicklung der Geometrie im neunzehnten Jahrhundert empfehlen wir das Buch von Yaglom [Yag88]. Zusätzlich ist das historische Buch von Felix Klein historisches Buch von Felix Klein [Kle28] eine sehr interessante Einführung in dieses Thema.

Projektive Geometrie bildet den Hintergrund für den Inzidenz-Geometrie-Teil von Cinderella, und Cayley-Klein-Geometrien bilden das Rückgrat für den metrischen Teil von Cinderella.

Mathematische Konsistenz¶

Metaphorisch gesprochen, "sollten die geometrischen Konstruktionen, die mit Cinderella durchgeführt werden, sich verhalten, als würden sie in einem vernünftigen geometrischen Universum leben. In diesem Universum sollten keine unnatürlichen Dinge geschehen."

Andere Systeme für interaktive Geometrie leiden unter mathematischen Inkonsistenzen. Sie erstellen eine Konstruktion, verschieben die Basiselemente herum, und plötzlich springt ein Teil der Konstruktion von einer Stelle zur anderen. Dieses Verhalten ist leider auch in Software-Systemen für parametrisches CAD verbreitet.

Cinderella löst dieses Problem vollständig durch die Verwendung einer neuen Theorie. Sie nutzt Merkmale aus der Komplexen Analyse und kombiniert sie mit der oben erwähnten "alten Geometrie".

Basierend auf dieser Theorie war es möglich, Cinderella mit einem automatischen Theorem-Prüfer auszustatten, der die meisten internen Entscheidungen regelt, die Cinderella trifft. Dieser Theorem-Prüfer wird auch für automatische Rückmeldungsoperationen in Schülerübungen verwendet. Ein weiterer Vorteil dieses Ansatzes ist, dass Sie ein generisches Werkzeug haben, um korrekte und vollständige geometrische Orte zu konstruieren, die echte Zweige algebraischer Kurven sind.

Modulares Design¶

Cinderella ist so gestaltet, dass es so modular wie möglich ist. Diese Architektur bereitet Cinderella gut auf weitere Erweiterungen in vielen Richtungen vor.

Auch die aktuelle Veröffentlichung profitiert vom modularen Ansatz. Beispielsweise ist es möglich, dieselben geometrischen Konstruktionen gleichzeitig in vielen geometrischen Kontexten zu betrachten. Eine Konstruktion in hyperbolischer Geometrie kann gleichzeitig im "Poincaré-Modell" der hyperbolischen Geometrie und im "Beltrami-Klein-Modell" angezeigt und manipuliert werden. Die gleichzeitige Verwendung verschiedener Ansichten macht es möglich, ein tieferes Verständnis einer Konfiguration zu gewinnen. Beispielsweise wird das "Verhalten im Unendlichen" einer Konfiguration in einer sphärischen Ansicht sofort sichtbar.

Transformationen und Transformationsgruppen¶

Cinderella bietet leistungsstarke Unterstützung für alle Arten von geometrischen Transformationen. Dies macht es oft möglich, hochwertige geometrische Operationen in sehr einfache Konstruktionsprinzipien zu kapseln. Transformationen werden in mehreren Kontexten verwendet. Cinderella.2 unterstützt einfache Spiegelungen, Verschiebungen und Rotationen sowie projektive Transformationen und Möbius-Transformationen.

Projektive Transformationen sind ein sehr nützliches Werkzeug für die Konstruktion perspektivisch korrekter Zeichnungen dreidimensionaler Szenen. Darüber hinaus bietet Cinderella Möglichkeiten zur Konstruktion von Transformationsgruppen, die durch mehrere Transformationen erzeugt werden.

Beispielsweise wurde das obige Bild als perspektivisches Bild der Anwendung einer Transformationsgruppe auf einen Kreis erstellt. Die Transformationsgruppe wurde durch 60°-Rotationen um die Ecken eines regulären Dreiecks erzeugt.

Fraktale¶

Cinderella bietet auch einen einfachen Ansatz zur Konstruktion fraktaler Strukturen. Die von Cinderella konstruierbaren Fraktale sind sogenannte iterierte Funktionssysteme. Sie werden mit einer Sammlung geometrischer Transformationen konstruiert. Das iterierte Funktionssystem ist eine Punktwolke, die in Bezug auf die definierenden Transformationen selbstähnlich ist. Mit den interaktiven Funktionen von Cinderella bietet das Programm eine einzigartige experimentelle Umgebung zur Erforschung von Räumen fraktaler Objekte.

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