Ähnlichkeit - Cinderella Dokumentation
Description: The user's guide to the Interactive Geometry Software Cinderella

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# Ähnlichkeit

Ähnlichkeiten sind unter den nützlichsten verfügbaren Transformationen in Cinderella. Sie können als eine Zusammensetzung einer Rotation und einer Skalierung angesehen werden. Mit einer geeignet gewählten Ähnlichkeit kann man ein beliebiges (geordnetes) Paar von Punkten auf ein anderes abbilden.

Eine Ähnlichkeit kann durch Angabe des Urbildes und des Bildes für zwei Paare von Beispielpunkten definiert werden. Somit wird eine Ähnlichkeit durch Auswahl einer (geordneten) Sammlung von vier Punkten definiert.

Erster Klick: Das erste Urbild ist definiert. |  | Zweiter Klick: Das erste Bild ist definiert. |  | Dritter Klick: Das zweite Urbild ist definiert. |  | Vierter Klick: Das zweite Bild ist definiert.

Nach dieser Abfolge von vier Klicks ist die Ähnlichkeit vollständig definiert. In diesem Beispiel wird die Ähnlichkeit eindeutig durch die Tatsachen definiert, dass A auf C abgebildet wird und dass B auf D abgebildet wird.

Das Anwenden einer Verschiebung auf eine Auswahl vieler Objekte bildet sie alle gleichzeitig ab. Die folgenden Bilder zeigen die Auswirkung einer Ähnlichkeitstransformation.

Das Urbild

Wenn man eine Ähnlichkeit iteriert, bildet die Abfolge der abgebildeten Bilder automatisch eine Art logarithmische Spirale. Das folgende Bild zeigt diese Auswirkung.

Eine logarithmische Spirale

In der Definition einer Ähnlichkeit ist es auch möglich, Punkte mehrfach zu verwenden. Es ist somit möglich, einen Punkt auf sich selbst abzubilden, indem man denselben Punkt als Bild und Urbild auswählt. Wir erhalten mehrere interessante Sonderfälle von Ähnlichkeit:

- A → A und B → B: Die identische Transformation, die alle Punkte invariant lässt
- A → A und B → C: A Ähnlichkeit, mit Fixpunkt A
- A → B und B → A: Eine Punktspiegelung, die A und B vertauscht

#### Ähnlichkeiten und Schieberegler

Ähnlichkeiten sind manchmal sehr nützliche Werkzeuge zur Implementierung einer Schieberegler-Steuerung in einem geometrischen Szenario. Das folgende Beispiel veranschaulicht diese Technik. Angenommen, Sie möchten ein Objekt erstellen, das sanft von einer Form in eine andere transformiert werden kann. Der Übergang soll durch einen Punkt auf einem Segment gesteuert werden, der als Schieberegler-Steuerung fungiert. Angenommen, Sie möchten eine Figur erstellen, die sich sanft von dem Quadrat auf der linken Seite in das Dreieck auf der rechten Seite „morphs", während der grüne Punkt bewegt wird.

Eine Morphing-Aufgabe

Man kann einen solchen Effekt erreichen, indem man viele Ähnlichkeitskonfigurationen definiert, eine für jedes Urbild/Bild-Paar von Punkten. Für jedes solche Paar definiert man eine Ähnlichkeit, die die Endpunkte des Schiebereglers auf die zwei Punkte des Paares abbildet. Man konstruiert dann das Bild des gleitenden Punktes unter dieser Abbildung. Wenn der Schieberegler bewegt wird, bewegt sich der abgebildete Punkt sanft von der Morphing-Startposition zur Endposition. Das folgende Bild zeigt eine Konstruktion dieses Prozesses.

Morphing leicht gemacht

#### Vorsicht

Ähnlichkeiten sind für hyperbolische und elliptische Geometrie nicht definiert.

#### Siehe auch

- Verschiebung
- Affine Abbildung
- Projektive Abbildung

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