Drei-Stab-Mechanismus - Cinderella Dokumentation
Description: The user's guide to the Interactive Geometry Software Cinderella

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# Drei-Stab-Mechanismus

Im zweiten Tutorial möchten wir die Dynamik eines kleinen mechanischen Mechanismus erforschen. Insbesondere lernen Sie, wie Sie Stäbe mit fester Länge erstellen. Sie lernen auch, wie Sie den geometrischen Ort eines Punktes erzeugen.

### Erstellen eines Stabes

Nach dem Starten von Cinderella oder dem Löschen einer vorherigen Konfiguration, wechseln Sie in den Modus Kreis nach Radius, indem Sie die Schaltfläche drücken. Dieser Modus wird verwendet, um mit Kreisen zu arbeiten, deren Radien konstant bleiben, wenn sich ihre Mittelpunkte bewegen. Bewegen Sie den Mauszeiger über die Ansicht. Drücken Sie die linke Maustaste. Halten Sie die Taste gedrückt, während Sie die Maus ziehen. Lassen Sie die Maus los. Mit diesen Aktionen haben Sie einen Kreis erzeugt. Wechseln Sie in den Modus Verschieben, um zu sehen, wie sich der Kreis verhält. Wenn Sie den Mittelpunkt auswählen, können Sie die Position des Kreises verschieben, und der Radius bleibt konstant. Sie können auch den Kreis selbst auswählen und verschieben. Dann bleibt sein Mittelpunkt fest und der Radius des Kreises ändert sich.

Abbildung 1: Ein erster Kreis

Wir möchten nun einen Punkt hinzufügen, der an die Grenze des Kreises gebunden ist. Wählen Sie den Modus Punkt hinzufügen. Bewegen Sie die Maus über die Ansicht. Bewegen Sie den Mauszeiger mit gedrückter Taste zur Grenze des Kreises. Wenn der Kreis hervorgehoben ist, lassen Sie die Maus los. Sie haben nun einen Punkt erstellt, der sich auf der Grenze des Kreises befindet. Sie hätten auch mit der Maus über die Kreisgrenze klicken können. Dies gibt Ihnen jedoch etwas weniger Kontrolle darüber, ob Sie den Kreis tatsächlich getroffen haben. Ihre Konfiguration sollte nun ungefähr wie in Abbildung 1 aussehen.

Wechseln Sie in den Modus Verschieben, um zu sehen, wie sich dieser neue Punkt verhält. Wenn Sie ihn auswählen und die Maus ziehen, verlässt der Punkt niemals den Kreis; er versucht, so nah wie möglich an der Mausposition zu bleiben. Wenn Sie den Mittelpunkt des Kreises verschieben oder den Radius des Kreises ändern, bleibt der Punkt auch auf dem Kreis. Der Punkt behält zudem seinen relativen Winkel zum Mittelpunkt bei. Wählen Sie den interaktiven Modus Strecke hinzufügen, indem Sie auf drücken, und zeichnen Sie eine Strecke vom Mittelpunkt zum Punkt auf dem Umfang (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2: Ein Stab

Diese Linie verhält sich nun wie ein Stab mit fester Länge, die durch den Radius des Kreises gegeben ist. Die einzige Möglichkeit, seine Länge zu ändern, besteht darin, den Radius des Kreises zu ändern.

### Zwei weitere Stäbe hinzufügen

Wir möchten nun zwei weitere Stäbe hinzufügen, um den Drei-Stab-Mechanismus zu vervollständigen, der in der Einführung vorgestellt wurde. Der Mechanismus ist eine Kette von drei aufeinanderfolgenden Stäben, die an jedem ihrer Enden befestigt ist. Wechseln Sie wieder in den Modus Kreis nach Radius und fügen Sie einen zweiten Kreis rechts vom ersten hinzu. Lassen Sie die beiden Kreise nicht schneiden.

Der Radius des zweiten Kreises stellt die Länge des dritten Stabes in der Reihe dar (wir haben den zweiten noch nicht erstellt). Vor Abschluss der Konstruktion sollten wir die Situation analysieren. Wenn der Punkt C in unserer Konstruktion mit dem Punkt B der Konstruktion durch zwei Stäbe mit gegebenen Längen verbunden werden soll, dann gibt es nicht viel Freiheit für den Punkt, der diesen beiden Stäben gemeinsam ist. Tatsächlich gibt es genau zwei mögliche Positionen für diesen Punkt. Sie sind die zwei Schnittpunkte von zwei Kreisen: ein Kreis um C, bereits gezeichnet, und ein weiterer, noch zu zeichnender Kreis um B.

Abbildung 3: Zwei weitere Kreise

Daher sollten Sie als nächsten Schritt einen Kreis um den Punkt B im Modus Kreis nach Radius zeichnen. Stellen Sie sicher, dass sein Radius groß genug ist, damit der Kreis den Kreis um C schneidet. Diese Stufe der Konstruktion ist in Abbildung 3 dargestellt. Zeichnen Sie abschließend eine Strecke im Modus Strecke von B zu einem der Schnittpunkte des Kreises um B und des Kreises um C (dies ist eine Alternative zum Hinzufügen einer Linie und zum Clippen auf ihre Endpunkte).

Dieser neue Punkt wird automatisch mit D beschriftet. Beachten Sie, dass dieser Punkt kein freier Punkt ist, da seine Position (bis zur Wahl des zweiten Schnittpunkts) durch die Positionen von A, B, C und die Radien der Kreise bestimmt wird.

Abbildung 4: Die drei Stäbe

Beenden Sie die Konstruktion, indem Sie den dritten Stab von C zu D* hinzufügen. Höchstwahrscheinlich sind die Linien bereits abgeschnitten, da Sie diese Wahl im Erscheinungs-Editor getroffen haben. Wenn nicht, wählen Sie sie aus und verwenden Sie den Erscheinungs-Editor, um sie abzuschneiden. Ihre Zeichnung sollte nun wie in Abbildung 4 aussehen.

### Die Konstruktion bewegen

Die Längen der Stäbe werden durch die Radien der Kreise bestimmt. Wählen Sie erneut den Modus Verschieben und spielen Sie mit der Konstruktion herum. Etwas Interessantes passiert, wenn Sie den Punkt B verschieben, den Punkt auf dem ersten Kreis.

Zunächst bemerken Sie, dass die gesamte Konstruktion genau einen Freiheitsgrad hat, wenn der Punkt B verschoben wird. Das Verschieben ermöglicht es der gesamten Konstruktion, sich zu verhalten, als wäre sie ein mechanischer Mechanismus. Wir können die Möglichkeit, B zu verschieben, als eine Art "Antriebskraft" betrachten; das ist das, was CAD-Leute es nennen würden. Es gibt Positionen für den Punkt B, für die die Stäbe zu kurz sind (siehe Abbildung 5), was bedeutet, dass sich die beiden Kreise nicht mehr schneiden. Wenn dies geschieht, verschwinden die Linien und der Schnittpunkt.

Abbildung 5: Die Stäbe sind zu kurz

Eines der interessantesten Dinge, das Sie zunächst übersehen könnten, passiert, wenn Sie den Punkt B zur ursprünglichen Position zurückbringen, wo sich die Kreise erneut schneiden: der andere Schnittpunkt wird gewählt; der Mechanismus nimmt die andere mögliche Position ein. Versuchen Sie dies viele Male, um ein Gefühl dafür zu bekommen. Bewegen Sie den Punkt B hin und her, damit die Stäbe verschwinden und wieder erscheinen. Dieses Verhalten scheint zunächst etwas kontraintuitiv zu sein, aber es ist genau das Richtige. Stellen Sie sich vor, die Stäbe wären aus echter Materie, Stahl oder Holz. Dann hätten sie eine bestimmte Masse. Was würde passieren, wenn Sie die ganze Konstruktion schieben und sie sich frei bewegen lassen würden, angetrieben nur von Trägheitskräften? Die beiden Stäbe, die in der Zeichnung verschwinden, würden in eine Position kommen, in der sie eine gerade Linie bildeten. Dann würde der Punkt D "über die Linie fegen", und die ganze Konstruktion würde sich in die andere mögliche Position bewegen.

Abbildung 6: Nach der Rückkehr

### Eine Animation starten

Wenn Sie immer noch nicht glauben, dass dies natürliches Verhalten ist, wählen Sie den Modus Animation, indem Sie auf drücken. Die Nachrichtenzeile unter der Ansicht fordert Sie auf, ein "bewegliches Element" auszuwählen. In unserem Fall möchten wir, dass B der bewegliche Punkt ist: Klicken Sie auf B. Da der Punkt B nur einen Freiheitsgrad hat, ist klar, wie man ihn bewegt, und die Animation wird sofort gestartet. Andernfalls würde man Sie aufgefordert, eine "Straße" auszuwählen, auf der sich B bewegen soll. In dieser Konstruktion ist die Straße klar: Sie ist der erste Kreis.

Ein Animations-Kontrollfeld

wird der geometrischen Ansicht hinzugefügt. Es hat Schaltflächen wie ein CD-Player zum Starten, Stoppen und Pausieren der Animation, und es hat einen Schieberegler zur Steuerung der Animationsgeschwindigkeit. Durch Drücken der Play-Taste können Sie die Animation starten.

Genießen Sie einen Moment lang, die Animation zu beobachten. Beachten Sie, dass sich der Punkt B nur in einem Bereich bewegt, in dem die Stäbe lang genug sind. Es "weiß", wann es die Richtung wechseln soll. Cinderella versucht, echtes physikalisches Verhalten zu modellieren. Es addiert keine Massen zu den beweglichen Elementen, sondern verwendet Methoden aus der Komplexen Analysis, um das Vernünftigste zu tun. Sie können während der Animation auch die freien Elemente verschieben. Beenden Sie nun die Animation, indem Sie die Taste "Stopp" im Animations-Kontroller drücken.

### Eine Ortskurve zeichnen

Wir möchten nun wissen, wie sich der Mittelpunkt des mittleren Stabes während der Animation bewegt. Wir fügen zunächst den Mittelpunkt hinzu. Wählen Sie den Modus Mittelpunkt . Mit einer Drücken–Ziehen–Loslassen-Sequenz können Sie den Mittelpunkt von zwei Punkten hinzufügen: Bewegen Sie die Maus über den Punkt D. Drücken Sie ihn, und halten Sie die linke Taste gedrückt, während Sie über den Punkt B gehen. Lassen Sie nun die Maustaste los. Der Mittelpunkt wird hinzugefügt.

Nun wählen Sie den Modus Ortskurve . Dieser Modus erfordert, dass Sie einen "Beweger", eine "Straße" und einen "Tracer" in dieser Reihenfolge auswählen. Der Beweger ist das Element, das sich bewegt (die "Antriebskraft"). Die Straße, die der Weg ist, auf dem sich der Beweger bewegt, muss dem Beweger einfallen. Der Tracer ist der Punkt, dessen Spur berechnet wird.

Klicken Sie auf den Punkt B (der "Beweger"). Cinderella erkennt, dass dieser Punkt eine eindeutige Straße hat, und wählt auch den Kreis aus. Daher muss der Punkt E als Tracer ausgewählt werden. Es dauert eine Sekunde, und die Ortskurve wird automatisch erzeugt. Sie können zum Modus Verschieben wechseln und sehen, wie sich die Ortskurve ändert, wenn Sie die freien Elemente verschieben.

Wenn Sie die Animation durch Drücken der Taste "Abspielen" neu starten, sehen Sie, wie die Ortskurve erzeugt wurde.

### Experimentieren

Es lohnt sich, mit der resultierenden Konstruktion zu experimentieren. Die konstruierte Ortskurve variiert dynamisch mit Bewegungen der freien Parameter der Konstruktion (Punkte A und C und die Radien der Kreise). Die Ortskurve kann interessante und ziemlich überraschende Formen annehmen, wie die folgende Bildersammlung zeigt.

Abbildung 7: Konstruktion einer Ortskurve

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