Geometrie und CindyLab - Cinderella Dokumentation
Description: The user's guide to the Interactive Geometry Software Cinderella

Zum Inhalt

# Geometrie und CindyLab

Dieser Abschnitt ist in gewisser Weise nicht mehr als eine Erinnerung für den Benutzer von Cinderella. Man sollte sich immer bewusst sein, dass in CindyLab alle Massen immer noch geometrische Punkte sind und alle Federn, Prallkörper und Böden Linien und Segmente sind. Daher ist es immer möglich, CindyLab-Experimente durch geometrische Konstruktionen zu erweitern. Diese geometrischen Konstruktionen können manchmal äußerst hilfreich sein, um die genaue Bedeutung eines Experiments zu analysieren. Wir werden dies durch drei kleine Beispiele veranschaulichen.

### Beispiel 1: Gleichgewichtsbedingung für Kräfte

Wenn eine physikalische Situation sich in einem Gleichgewichtszustand befindet, wird keine der Massen beschleunigt. Dies bedeutet jedoch, dass in einem solchen Fall an jeder Masse keine Kräfte vorhanden sind. Dies wiederum bedeutet, dass wenn mehrere Kraftquellen auf ein Teilchen einwirken, alle diese Kräfte sich zu Null addieren müssen. Das folgende Experiment veranschaulicht diese Situation für ein einfaches Netzwerk aus Gummibändern und Federn. Dort wird ein Dreieck aus (blauen) Federn konstruiert. Alle Eckpunkte des Dreiecks sind durch Gummibänder mit einem zentralen Teilchen verbunden. In der Ausgangssituation können die Längen und Richtungen der Gummibänder beliebig sein. Wenn man das System jedoch in einen Gleichgewichtszustand bringt (durch Starten der Simulation und Hinzufügen von Reibung), müssen sich die durch die Gummibänder am inneren Eckpunkt verursachten Kräfte aufheben. Wenn alle Gummibänder identische Federkonstanten haben, bedeutet dies, dass die drei Segmente, die die Gummibänder darstellen, parallel verschoben werden können, um ein Dreieck zu bilden (Summe der Kräfte gleich Null).

Situation vor dem Start

Dies kann einfach durch eine kleine Hilfskonstruktion getestet werden, die parallele Verschiebungen der drei Segmente verkettet (linker Teil des Bildes). In der Ausgangssituation beobachtet man, dass diese Kette aus drei Pfeilen nicht unbedingt zusammentreffen muss. Das zweite Bild zeigt die Gleichgewichtssituation, in der die drei Kanten automatisch ein perfektes Dreieck bilden.

Manchmal treten überraschend interessante Beziehungen in Gleichgewichtskonfigurationen auf. Zum Beispiel zeigt das nächste Bild die Situation von drei Federn, die von sechs Gummibändern umgeben sind. Die Gummibänder können beliebige Federkonstanten haben. In der Gleichgewichtssituation werden die sechs Eckpunkte der Konstruktion automatisch auf einem Kegelschnitt liegen.

Eine überraschende Gleichgewichtsbedingung

### Beispiel 2: Planetenbewegung

Es gibt eine erstaunliche und nicht sehr bekannte geometrische Eigenschaft der Planetenbewegung in einem Zweikörpersystem. Wie bereits erwähnt, wird ein Planet, der um eine Sonne kreist, die Spur einer Ellipse beschreiben. Wenn wir die Geschwindigkeit des Planeten betrachten, ist sie schnell, wenn der Planet der Sonne nahe ist, und langsam, wenn er weit weg ist. Sie ändert auch während der gesamten Bewegung ständig ihre Richtung. In Cinderella ist es einfach, den Pfad des Geschwindigkeitsvektors explizit zu untersuchen. Dafür fügt man zunächst eine Sonne und ein Teilchen mit Geschwindigkeit hinzu. Wenn man die Simulation startet, wird sich das Teilchen entlang einer Kepler-Ellipse bewegen. Dann fügt man einen freien Punkt hinzu und definiert eine Verschiebung vom Planeten zu diesem Punkt. Nun kann man den Geschwindigkeitsvektor leicht zu diesem Punkt verschieben und ein Bild des isolierten Verhaltens des Geschwindigkeitsvektors erhalten.

Die Spur des Geschwindigkeitsvektors

Wenn man die Spur des Geschwindigkeitsvektors betrachtet, könnte man vermuten, dass die Spur kreisförmig ist. Es ist leicht, diese Vermutung zumindest visuell zu überprüfen, indem man einfach einen freien Kreis zur Zeichnung hinzufügt und ihn während der Ausführung der Animation in eine Position verschiebt, in der er mit der Spur des Geschwindigkeitsvektors übereinstimmt. Das Bild unten zeigt, wie gut es passt.

Die Spur ist kreisförmig

### Beispiel 3: Kräfte an der Golden Gate Bridge

Das folgende Bild zeigt ein Beispiel, das bereits im Abschnitt über Schwerkraft betrachtet wurde. Hier wird ein Hintergrundbild der Golden Gate Bridge geladen. Mit Hilfe von CindyLab wird eine Physiksimulation konstruiert, die die Verteilung der Kräfte in den Kabeln der Brücke modelliert. Cinderella wird verwendet, um die Perspektive des Fotos zu korrigieren. Dies kann durch die Verwendung einer Projektiven Transformation erfolgen, die die Situation in der Physiksimulation auf die Situation im Bild abbildet. Das Einstellen der Schwerkraft auf den korrekten Wert zeigt, dass diese Situation genau der Situation an den Tragekabeln der Brücke entspricht.

Eine Analyse der Golden Gate Bridge

Diese Seite wurde automatisch mit KI (Claude) übersetzt und wartet noch auf Überprüfung. → Alle KI-übersetzten Seiten