Möbius-Transformation - Cinderella Dokumentation
Description: The user's guide to the Interactive Geometry Software Cinderella

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# Möbius-Transformation

Mathematisch betrachtet ist wohl die interessanteste in Cinderella verfügbare Transformation die Möbius-Transformation. Dies ist eine Transformation mit der Eigenschaft, dass Kreise und Linien wieder auf Kreise und Linien abgebildet werden. Jede Drehung, Translation oder Ähnlichkeit kann als Spezialfall einer Möbius-Transformation betrachtet werden, während weder eine affine Transformation noch eine projektive Transformation eine Möbius-Transformation ist.

Eine Möbius-Transformation wird durch drei Urbild-/Bildpunktpaare definiert. Das Definieren einer Möbius-Transformation in Cinderella ist analog zur Erstellung einer Ähnlichkeit, jedoch mit sechs erforderlichen Punkten statt vier.

Die folgenden zwei Bilder zeigen, wie ein Kreis unter einer Möbius-Transformation abgebildet wird. Da die Möbius-Transformation im Bild A → D, B → E, C → F abbildet, wird ein Kreis durch A, B, C auf einen Kreis durch D, E, F abgebildet.

Definition einer Möbius-Transformation

Wenn man eine Möbius-Transformation iteriert, bildet die Folge der abgebildeten Bilder ein mathematisch und ästhetisch sehr interessantes Muster, das als Verallgemeinerung einer logarithmischen Spirale betrachtet werden kann. Das folgende Bild zeigt das Bild einer iterierten Möbius-Transformation, die auf einen einzelnen Kreis und sein Zentrum angewendet wird.

Iteration einer Möbius-Transformation

Eine Möbius-Transformation hat normalerweise zwei unterschiedliche Fixpunkte. In der obigen Zeichnung wurden diese Fixpunkte explizit konstruiert, um sicherzustellen, dass die Transformation A auf sich selbst und B auf sich selbst abbildet.

#### Siehe auch

- Ähnlichkeit

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