Theoretischer Hintergrund - Cinderella Dokumentation
Description: The user's guide to the Interactive Geometry Software Cinderella

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# Theoretischer Hintergrund

## Probleme in der Interaktiven Geometrie

Wie sollte sich ein System für interaktive Geometrie verhalten, wenn ein Benutzer damit arbeitet? In gewisser Weise sind die Anforderungen ähnlich wie bei anderen Programmen:

- Das Programm sollte einfach zu bedienen sein.
- Der Benutzer sollte nicht durch unnatürliches Verhalten des Programms beunruhigt werden.
- Der Benutzer sollte nicht durch unnötige Eingaben belastet werden.
- Die berechneten Ergebnisse sollten korrekt sein.

Leider erweist sich interaktive Geometrie unter diesen Anforderungen als ein schwieriges Thema. Es gibt zwei Hauptgründe dafür:

- Es gibt Probleme, die aus Spezialfällen entstehen, die bereits in statischen Konstruktionen auftreten.
- Es gibt Probleme, die genuinen dynamischen Charakter haben.

### Statische Probleme

Unsere alltägliche "Schulgeometrie" ist voller Spezialfälle. Zwei Linien können sich schneiden oder parallel sein. Zwei Kreise können sich in ein oder zwei Punkten schneiden oder überhaupt nicht. Daher ist es schon bei statischen Konstruktionen manchmal schwierig zu bestimmen, welches Ergebnis für einen solchen Spezialfall richtig und angemessen ist. Was ist zum Beispiel die Winkelhalbierende zweier paralleler Linien? Ist sie undefiniert? Kann sie eine beliebige Linie sein, die zu den beiden Linien parallel ist? Sollte sie eine Linie sein, die zu den beiden Linien gleichen Abstand hat?

Wir könnten versuchen, alle Spezialfälle auszuschließen und sie gar nicht zu erlauben. Allerdings würde dies einerseits bedeuten, nicht-esoterische Fälle wie parallele Linien auszuschließen. Andererseits passiert es beim Bewegen von Punkten in einer Konstruktion ständig, dass voneinander abhängige Elemente in Spezialfälle gezwungen werden. Beachte, dass dies immer noch ein statisches Problem ist!

Solche statischen Probleme werden seit langer Zeit untersucht. Die großen Geometer des neunzehnten Jahrhunderts waren sich ihrer bewusst, und es ist ihrer Arbeit zu verdanken, dass die meisten von ihnen gelöst werden konnten. Der Schlüssel zur Lösung ist die schrittweise Erweiterung der Euklidischen Geometrie auf ein größeres Gebiet. Zunächst wird die übliche Ebene um Elemente im Unendlichen erweitert, was zur projektiven Geometrie führt. Dann wird die zugrunde liegende algebraische Struktur erweitert, um komplexe Zahlen zu umfassen. Dies entfernt im Wesentlichen alle Spezialfälle aus der Geometrie.

Es war eine aufregende Entwicklung in der Mathematik, als diese Ansätze um 1870 schließlich zu einem völlig konsistenten System führten. Dieses System erklärt die Effekte der Euklidischen Geometrie sowie die nicht-Euklidischen Geometrien wie die hyperbolische Geometrie. Heute wird es Cayley-Klein-Geometrie genannt, zu Ehren zweier ihrer Hauptbegründer.

Der mathematische Hintergrund und die Implementierung von Cinderella basieren auf dieser allgemeinen Struktur. Auf diese Weise kann Cinderella mit allen Spezialfällen umgehen und ist zusätzlich in der Lage, sowohl nicht-Euklidische als auch Euklidische Geometrie zu betreiben. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass die Verwendung dieser allgemeinen Prinzipien das Programm nicht komplizierter macht. Im Gegenteil, der Ausschluss von Spezialfällen ermöglicht eine viel einfachere und direktere Programmstruktur.

### Dynamische Probleme

Für Systeme der interaktiven Geometrie gibt es eine zweite Klasse von Problemen, die in gewisser Weise subtiler sind als die statischen Probleme. Leider führen sie zu noch drastischeren Effekten. Angenommen, du hast eine Konstruktion erstellt, die Punkte, Linien und Kreise umfasst, insbesondere den Schnittpunkt zweier Kreise (oder eines Kreises und einer Linie). Wenn du die Maus bewegst, muss das Programm für jede Position entscheiden, wo sich die abhängigen Elemente befinden. Es gibt jedoch ein Problem. Zwei Kreise haben nicht nur einen Schnittpunkt. Sie haben zwei, und wir erhalten beide aus unseren Berechnungen. Wie sollte das System entscheiden, welcher davon der ist, den du „möchtest"? Wenn du den Schnittpunkt konstruierst, ist die Antwort auf diese Frage einfach: Nimm den Punkt, der der aktuellen Mausposition am nächsten ist. Aber wenn du anfängst, die Konstruktion zu bewegen, gibt es keine offensichtliche Antwort.

Das wünschenswerteste Verhalten wäre ein kontinuierliches Verhalten des Programms im folgenden Sinne:

> Wenn du einen sehr kleinen Zug mit einem freien Punkt machst, sollten sich auch die von ihm abhängigen Elemente nur um einen kleinen Betrag bewegen.

Auf den ersten Blick ist nicht klar, ob diese Anforderung allgemein erfüllbar ist. Starten Sie Ihr bevorzugtes System für interaktive Geometrie oder parametrische CAD und führen Sie das folgende Experiment durch: Zeichnen Sie eine horizontale Linie und konstruieren Sie zwei Kreise mit gleichem Radius, deren Mittelpunkte entlang der Linie verschiebbar sind. Verschieben Sie die Kreise in eine Position, in der sie sich schneiden, und konstruieren Sie den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise. Bewegen Sie nun einen Kreis so, dass sein Mittelpunkt durch den Mittelpunkt des anderen Kreises verläuft. Sehr wahrscheinlich werden Sie sehen, dass der Schnittpunkt plötzlich vom oberen Schnittpunkt zum unteren springt. Dies ist das, was in allen Systemen, die wir bisher ausprobiert haben, passiert ist. Ein solches Verhalten widerspricht unserer Anforderung der Stetigkeit: Du machst eine kleine Bewegung, und ein abhängiger Punkt springt plötzlich.

Das sollte nicht passieren!

Auf den ersten Blick erscheint ein einzelner springender Punkt wie eine bloße Kuriosität, die man tolerieren kann. Aber was passiert, wenn große Teile einer Konstruktion von diesem springenden Punkt abhängen? Dann werden diese Teile der Konstruktion auch springen, ohne Vorwarnung. Die meisten Systeme für interaktive Geometrie verwenden Heuristiken, die auf Orientierungsentscheidungen basieren, um einige dieser Sprungsituationen zu vermeiden. Aber dennoch bleiben in jedem System viele Fälle ungelöst. Tatsächlich gibt es einen Beweis, dass keine Heuristik, die nur auf Orientierungen basiert, alle diese dynamischen Probleme lösen kann [Kor99], [KRG01], [RGK02]. In einem Artikel über dynamische Geometrie [Lab97] drückt Jean-Marie Laborde, der Hauptgestalter von Cabri Géométrie, dieses Dilemma folgendermaßen aus:

> Ich denke, wir brauchen eine echte mathematische Behandlung aller Konsequenzen der Ausdehnung der Geometrie auf ein größeres System. Dieses System kann nicht das projektive sein, wenn wir maximieren möchten, wie die Umgebung die speziellen Charakteristiken nicht-statischer Objekte berücksichtigt, die im Kern der dynamischen Geometrie liegen.

Cinderella ist das erste Programm, das auf einer Theorie basiert, die in der Lage ist, abhängige Elemente daran zu hindern zu springen. Diese Theorie basiert ebenfalls auf der Verwendung von komplexen Zahlen, die zur Lösung der statischen Geometrieprobleme verwendet wurden.

Die Verwendung dieser Theorie hat viele Vorteile. Zum Beispiel ist sie die Grundlage für die Erzeugung korrekter Ortskurven. Betrachten Sie das Beispiel der Schubkurbel aus dem zweiten Lernprogramm. Die Erzeugung der Ortskurve basiert auf der korrekten Berechnung der Schnittpunkte zweier Kreise, während sich ein freier Punkt bewegt. In anderen Systemen für interaktive Geometrie erhalten Sie wahrscheinlich nur die Hälfte der Achterkurve. Die Methoden für automatisiertes Theorembeweisen, die intern während der gesamten Arbeit mit Cinderella verwendet werden, basieren auf dieser Theorie.

Der „Drei-Stab-Ort“ erneut betrachtet

Die folgenden Absätze sollen dir einen Überblick über die verschiedenen mathematischen Methoden und Theorien geben, die der Implementierung von Cinderella zugrunde liegen.

## Projektive Geometrie

Der erste und vielleicht wichtigste Schritt für eine konsistente geometrische Struktur ist die Erweiterung der üblichen Euklidischen Ebene um Elemente im Unendlichen. Du hast wahrscheinlich schon den Satz gehört „Parallele Linien treffen sich im Unendlichen", und du könntest daran glauben, wenn du von einer Brücke aus entlang eines sehr langen und geraden Eisenbahngleises schaust. Dieser Satz ist der Schlüssel zur projektiven Geometrie. Die Erweiterung der Geometrie um unendliche Elemente entfernt viele der Spezialfälle aus der üblichen Euklidischen Geometrie.

Die projektive Geometrie hat eine sehr lange Tradition. Ihr historischer Ursprung kann auf das Studium der Perspektive durch berühmte Maler wie Albrecht Dürer und Leonardo da Vinci zurückgeführt werden. Ihr mathematischer Ursprung ist die Arbeit von Gaspard Monge, einem französischen Geometer, der um 1795 eine Methode namens deskriptive Geometrie entwickelte, um räumliche Konfigurationen durch ebene perspektivische Zeichnungen darzustellen. Monge beobachtete, dass nichttriviale Aussagen über ebene geometrische Konfigurationen abgeleitet werden können, indem man diese Konfigurationen als Projektionen von Konfigurationen im Raum betrachtet. Das Studium von Parallelen in diesen Projektionen wurde am elegantesten durchgeführt, indem man die Ebene um Elemente im Unendlichen erweiterte.

In Perspektivzeichnungen treffen sich Parallelen tatsächlich

Die projektive Ebene besteht aus den Punkten der üblichen, Euklidischen Ebene zusammen mit einem zusätzlichen „unendlichen" Punkt für jede mögliche Richtung. Die Linien der projektiven Ebene sind die Euklidischen Linien zusammen mit einer speziellen „Linie im Unendlichen". Alle unendlichen Punkte liegen auf der Linie im Unendlichen. Die folgenden schön symmetrischen Beziehungen zwischen Punkten und Linien gelten:

- Je zwei verschiedene Punkte haben eine eindeutige Verbindungslinie (ihren Join).
- Je zwei verschiedene Linien haben einen eindeutigen Schnittpunkt (ihr Meet).

Der erste, der diese Regeln formalisierte, war um 1822 Victor Poncelet, ein Schüler von Monge, der heute als der „Vater der projektiven Geometrie" angesehen werden kann. In der projektiven Geometrie muss man Parallelen nicht als etwas Besonderes betrachten. Sie haben immer noch einen Schnittpunkt; er liegt nur im Unendlichen. Für eine verständliche Einführung in die projektive Geometrie verweisen wir auf die Bücher von H. S. M. Coxeter zu diesem Thema [Cox49], [Cox63].

## Homogene Koordinaten

Leider haben wir auf einem Computer keine geometrischen Objekte als primitive Datentypen. Ein Punkt oder eine Linie muss durch Zahlen dargestellt werden: die Koordinaten. Normalerweise wird ein Punkt in der Ebene durch seine (x, y)-Koordinaten beschrieben. Eine Linie kann durch die drei Parameter (a, b, c) ihrer definierenden Gleichung ax + by + c = 0 gegeben sein. Wenn wir jedoch projektive Geometrie betreiben möchten, erweist sich dies als unpraktisch. Jedes Paar von Koordinaten (x, y) stellt einen endlichen Punkt dar, und es gibt keine Darstellung für die Punkte im Unendlichen. Eine Lösung für dieses Problem wurde in der ersten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts allmählich klar. Sie begann mit den baryzentrischen Koordinaten von Möbius, über die verfeinerte Struktur der homogenen Koordinaten von Plücker, und führte schließlich zu Grassmanns Aufbau der multilinearen Algebra.

Der Weg aus dem Dilemma ist wie folgt. Für jeden Punkt verwenden wir drei statt zwei Koordinaten und führen dadurch eine dritte Dimension ein. Stellen Sie sich das folgende Szenario vor: Die Ebene wird parallel zur xy-Ebene des dreidimensionalen Raumes in der Höhe z = 1 eingebettet, sodass sie nicht durch den Ursprung (0, 0, 0) verläuft.

Einbettung der Ebene im Raum

Jeder Punkt (x, y) wird durch seine dreidimensionalen Koordinaten (x, y, 1) dargestellt. Diese Koordinaten sind die homogenen Koordinaten des Punktes. Was passiert mit dem Rest der Punkte im dreidimensionalen Raum? Fast alle von ihnen werden als Punkte in der ursprünglichen Ebene interpretiert: Wir identifizieren alle dreidimensionalen Punkte, die sich um ein von Null verschiedenes Vielfaches unterscheiden. Zum Beispiel beschreiben (4, 6, 2) und (2, 3, 1) denselben Punkt. Im Allgemeinen wird ein Punkt mit räumlichen Koordinaten (x, y, z) mit dem Punkt (x/z, y/z, 1) der ursprünglichen Ebene identifiziert. Dieser Vorgang wird als Dehomogenisierung bezeichnet. Auf gewisse Weise entspricht jeder Punkt der ursprünglichen Ebene der Linie, die von diesem Punkt und dem Ursprung im dreidimensionalen Raum aufgespannt wird.

Es gibt jedoch Punkte im dreidimensionalen Raum, die keinen Punkten in der ursprünglichen Ebene entsprechen. Die Punkte der Form (x, y, 0) können auf die obige Weise nicht dehomogenisiert werden, da wir durch Null dividieren müssten. Diese Punkte entsprechen genau den „Punkten im Unendlichen" der projektiven Geometrie. Um dies zu sehen, untersuchen wir das Verhalten eines Punktes, der sich allmählich ins Unendliche in der ursprünglichen Ebene bewegt.

Angenommen, der sich bewegende Punkt hat Koordinaten (r, r). Wenn r immer größer wird, nähert sich dieser Punkt allmählich einem Punkt im Unendlichen in der 45º-Richtung an. Wenn wir seine homogenen Koordinaten ansehen, sehen wir, dass sie die Form (r, r, 1) ~ (1, 1, 1/r) haben. Wenn r zunimmt, dominiert der Beitrag der ersten beiden Koordinaten die letzte Koordinate immer mehr. Im Grenzfall r gleich „Unendlich" sind die homogenen Koordinaten durch (1, 1, 0) gegeben, einen unendlichen Punkt. Du kannst dir auch die Linie vorstellen, die durch diesen Punkt und den dreidimensionalen Ursprung verläuft. Wenn sich der Punkt ins Unendliche nähert, wird diese Linie immer horizontaler, bis sie im Grenzfall völlig in der xy-Ebene liegt.

Eine ähnliche Darstellung kann für Linien gegeben werden. Für die Linie ax + by + c = 0 nehmen wir die Parameter (a, b, c) als die homogenen Koordinaten der Linie. Wie im Fall von Punkten identifizieren wir von Null verschiedene Vielfache solcher Koordinaten, da sie die Lösungsmenge der entsprechenden Gleichung nicht ändern. Es gibt einen Parametersatz, (0, 0, 1), der keiner endlichen Linie entspricht. Dies ist die Linie im Unendlichen. Der Vektor (a, b, c) einer Linie ist orthogonal zu der Ebene, die durch die entsprechende Linie und den Ursprung des dreidimensionalen Raumes aufgespannt wird. Insbesondere ist der Vektor (0, 0, 1) orthogonal zur xy-Ebene, der „Linie im Unendlichen".

Tatsächlich bietet der algebraische Begriff der homogenen Koordinaten eine vollständige Symmetrie zwischen Punkten und Linien. Jeder Punkt oder jede Linie wird durch drei homogene Koordinaten dargestellt. Ein Punkt (x, y, z) liegt auf einer Linie (a, b, c) genau dann, wenn das Skalarprodukt ax + by + cz gleich Null ist, was einfach die Gleichung der Linie umschreibt. Geometrisch bedeutet dies, dass die beiden entsprechenden Vektoren im dreidimensionalen Raum orthogonal sind.

## Komplexe Zahlen

Nicht nur die Geometrie wurde über die Jahrhunderte erweitert. Ein ähnlicher Prozess geschah mit Zahlen. Das erste numerische Konzept, das wahrscheinlich die Menschheit in Betracht zog, war das der positiven ganzen Zahlen: 1, 2, 3, …. Ausgehend von dort war es vernünftig, das Zahlensystem schrittweise zu erweitern, um mächtigere Konzepte zu umfassen. Die negativen Zahlen, die rationalen Zahlen und die reellen Zahlen mussten erfunden werden, um ein nützliches und in sich geschlossenes System zu erreichen. Die Beobachtung, dass es Zahlen geben muss, die nicht als Quotienten zweier ganzer Zahlen dargestellt werden können, hat geometrischen Charakter und geht auf etwa 600 v. Chr. zurück. Sie wurde von den Pythagoreiern beobachtet, dass es keine rationale Zahl gibt, die die Länge der Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge eins misst. Durch Anwendung des Satzes des Pythagoras ist diese Aufgabe äquivalent zum Finden einer Zahl x, sodass x² = 2. Diese Entdeckung führte zu einer tiefen Krise in den Grundlagen der antiken Geometrie.

Die Geschichte der Erweiterung des Zahlensystems endet jedoch nicht an diesem Punkt. Eine der Erweiterungen mit möglicherweise den drastischsten Konsequenzen war die Einführung von komplexen Zahlen. Es war Geronimo Cardano in seinem 1545 veröffentlichten Werk Ars Magna, der als erster explizit eine solche Erweiterung der reellen Zahlen vorschlug. Er wurde zu seinen Schlussfolgerungen durch das Studium von Lösungen von Polynomen dritten Grades geführt. Basierend auf der Arbeit anderer zeitgenössischer Mathematiker entdeckte er, dass eine vollständige systematische Darstellung dieser Lösungen nur mit Hilfe bisher unbekannter Werte erreicht werden kann, die Quadratwurzeln negativer Zahlen beinhalten.

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form a + i·b, wobei das Symbol i die Gleichung i² = –1 erfüllt, und a und b reelle Zahlen sind. Klar ist, dass i keine reelle Zahl sein kann, da das Quadrat einer reellen Zahl niemals negativ sein kann. Das System der komplexen Zahlen ist wie die reellen Zahlen unter den vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division geschlossen (ausschließlich der Division durch Null natürlich). Mit anderen Worten, die Summe und das Produkt zweier komplexer Zahlen sowie ihre Differenz und ihr Quotient können wieder in der Form a + i·b für geeignete Parameter a und b geschrieben werden. Im Gegensatz zu den reellen Zahlen ist das System der komplexen Zahlen jedoch auch unter der Operation des Findens von Lösungen von Polynomen geschlossen. Betrachte zum Beispiel das Polynom

x² – 6x + 13 = 0.

Wie du leicht überprüfen kannst, hat es keine reellen Lösungen, aber die komplexen Zahlen 3 + 2i und 3 – 2i lösen diese Gleichung. Tatsächlich ist das folgende schöne Ergebnis wahr: Jede Polynomgleichung mit beliebigen reellen oder komplexen Koeffizienten hat alle ihre Lösungen wieder im Körper der komplexen Zahlen.

In gewisser Weise ist die Entdeckung der komplexen Zahlen der Startpunkt für den Großteil der modernen Mathematik. Viele mathematische Theorien finden ihre breiteste, eleganteste und wirtschaftlichste Fassung, wenn sie über die komplexen Zahlen formuliert werden. Dies passiert auch mit der Geometrie. Betrachte die Situation von zwei Kreisen. Je nach ihrer Position können sie zwei, einen oder gar keine Schnittpunkte haben.

Das Finden der Koordinaten der Schnittpunkte läuft auf die Lösung einer quadratischen Gleichung hinaus. Über den reellen Zahlen könnte diese Gleichung keine Lösung haben. In diesem Fall schneiden sich die Kreise nicht. Über den komplexen Zahlen existiert jedoch immer eine Lösung. Also sagen wir im Fall von visuell sich nicht schneidenden Kreisen, dass die Schnittpunkte immer noch existieren, aber dass sie komplexe Koordinaten haben, und daher können wir sie in der reellen Ebene nicht sehen.

Der mathematische Kern von Cinderella ist vollständig über die komplexen Zahlen implementiert. Wenn also Schnittpunkte visuell verschwinden, muss Cinderella keine Spezialfälle behandeln und kann trotzdem weitermachen. Die Lösungen haben dann eben komplexe Koordinaten.

Was passiert, wenn zwei komplexe Punkte durch eine Linie verbunden sind? Im Allgemeinen wird diese Linie auch komplexe Koordinaten haben. Wenn die Punkte jedoch so genannte komplexe Konjugierte sind, was bedeutet, dass sie sich nur durch das Vorzeichen ihres komplexen Teils unterscheiden, dann ist ihr Join wieder reell. Da die Lösungen einer quadratischen Gleichung mit reellen Koeffizienten immer komplexe Konjugierte sind, folgt daraus, dass die Schnittpunkte zweier Kreise immer komplexe Konjugierte sind. Das ist der Grund, warum die sie verbindende Linie eine reelle Linie ist, unabhängig davon, wo sich die Kreise in der Ebene befinden, auch wenn die Schnittpunkte komplex und daher unsichtbar sind. Cinderella wird diese Linie korrekt berechnen und zeichnen, unabhängig von der Position der Kreise. Es kann eine Weile dauern, sich daran zu gewöhnen, dass Zwischenergebnisse verschwinden können, während einige von ihnen abhängende Konstruktionen sichtbar bleiben. Aber genau das solltest du erwarten. Betrachte den Fall, in dem die Kreise denselben Radius haben. Die Linie ist dann die Mittelsenkrechte der Strecke, die die beiden Mittelpunkte verbindet. Wenn du die komplexen Situationen einbeziehst, wirst du nicht gezwungen, so viele Spezialfälle zu berücksichtigen.

Ein weiteres Beispiel eines Satzes, in dem Zwischenschritte verschwinden, ist die folgende Aussage über drei Kreise. Konstruiere die Linie, die die zwei Schnittpunkte jedes Kreispaares verbindet. Die drei Sehnen, die du auf diese Weise erhältst, treffen sich in einem Punkt, egal ob sich die Kreise schneiden oder nicht.

Also wird in Cinderella jeder Punkt und jede Linie durch komplexe homogene Koordinaten dargestellt. Das bedeutet, dass insgesamt jeder Punkt oder jede Linie eine sechsdimensionale(!) interne Darstellung im mathematischen Kern hat. Das mag verrückt klingen, aber es ist die natürlichste Sache der Welt.

## Messungen und komplexe Zahlen

Wenn wir uns mit projektiver Inzidenztheorie zufrieden stellen würden, wäre das bisherige System ziemlich vollständig. Wir wollen aber auch Abstände und Winkel messen können. Messungen sind in gewisser Weise die fundamentalsten geometrischen Operationen. Leider scheint die projektive Geometrie auf den ersten Blick nicht in der Lage zu sein zu messen, da sich Abstände unter Perspektivtransformationen ändern können. Tatsächlich hielten Mathematiker lange Zeit die projektive Geometrie für ein „schönes Spielzeug" zum Betreiben von Inzidenzgeometrie, aber nicht für angemessen für das „wahre Zeug": Messungen.

Die Geschichte hat sie widerlegt. Mit der richtigen Struktur ist die projektive Geometrie das universelle System zum Messen. Dieses System vereinheitlicht und erklärt verschiedene Arten von Messungen. Zum Beispiel erklärt es die Beziehung zwischen Euklidischer und hyperbolischer Geometrie. Es dauerte jedoch lange, bis man schließlich die algebraische Struktur fand, in der die projektive Geometrie ihre volle Kraft entfaltet. Die Schlüsselobjekte werden in modernen Begriffen „Cayley-Klein-Geometrien" genannt. Es ist ein eleganter und konsistenter mathematischer Ansatz zu Messungen, der projektive Geometrie und komplexe Zahlen kombiniert.

### Euklidische und nicht-Euklidische Geometrie

Ein Teil dieser Entwicklung begann mit der Entdeckung nicht-Euklidischer Geometrien. Unsere alltägliche Geometrie wird mit relativ großer Genauigkeit durch Euklids fünf Postulate beschrieben. Er nutzte diese Postulate, um die Geometrie zu axiomatisieren. Dies geschah vor knapp 2000 Jahren. Das letzte Postulat, das so genannte Parallelenpostulat, spielt eine besondere Rolle in der Entwicklung der Geometrie. Eine Art, es zu formulieren, ist diese: „Wann immer es eine Linie l in der Ebene und einen Punkt P nicht auf l gibt, dann gibt es genau eine Linie durch P, die sich nicht mit l trifft."

Euklid war sehr vorsichtig mit der Anwendung des Parallelenpostulats. Große Teile von Euklids Ausführungen, zum Beispiel die vollständige Theorie der Kongruenz von Dreiecken, wurden durchgeführt, ohne das Axiom explizit zu benötigen. Heute sind wir uns relativ sicher, dass Euklid selbst glaubte, dass dieses Axiom eine Konsequenz der anderen vier Axiome war. Aber er konnte es nicht beweisen. Nach Euklid versuchten viele andere Mathematiker, dies zu tun, und einige präsentierten sogar Beweise. Aber alle diese Beweise waren falsch.

In den sechzehnten bis achtzehnten Jahrhunderten fanden Mathematiker auch viele gleichwertige Formulierungen des Parallelenpostulats. Eine der prominentesten Formulierungen ist: „Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck beträgt 180º." Wenn diese Aussage aus Euklids ersten vier Axiomen abgeleitet werden konnte, würde dies die Abhängigkeit des Parallelenpostulats beweisen.

Um zu beweisen, dass ein Axiom abhängig ist, kann man das Gegenteil annehmen und Schlussfolgerungen ziehen, bis ein Widerspruch gezeigt wird. Viele Menschen versuchten dies, darunter C.F. Gauß, J. Bolyai und N. Lobachevski. Sie zogen Schlussfolgerung nach Schlussfolgerung, aber zu ihrer Überraschung, statt auf einen Widerspruch zu stoßen, fanden sie sich dabei, ein schönes geometrisches System zu entwickeln: hyperbolische Geometrie. Dort wird Euklids Parallelenpostulat auf folgende Weise modifiziert: „Wann immer es eine Linie l in der Ebene und einen Punkt P nicht auf l gibt, dann gibt es mehr als eine Linie durch P, die sich nicht mit l trifft." Eine Konsequenz dieser Annahme ist, dass die Winkelsumme in einem Dreieck immer weniger als 180º beträgt. Zwischen 1815 und 1824 kamen diese drei Personen, die heute als Entdecker der hyperbolischen Geometrie gelten, unabhängig voneinander zu dem Punkt, an dem sie ihr System für frei von Widersprüchen erklärten, einfach weil sie keinen finden konnten. Das System, das sie entwickelten, war voller innerer Schönheit, und es ist eine überraschende Tatsache, dass sie beweisen konnten, dass unter der Annahme des veränderten Parallelenpostulats sie zu einer eindeutigen Theorie kommen (bis auf triviale Isomorphismen).

Es ist erwähnenswert, dass Gauß sehr wahrscheinlich der erste war, der zu diesen Schlussfolgerungen kam, um 1816. Er traute sich jedoch nicht, seine Ergebnisse zu veröffentlichen, da er Konflikte mit den führenden Schulen der Kantischen Philosophie fürchtete. Diese betrachteten eine gerade Linie als das erste Ding, dessen Natur a priori klar ist.

Wenn dich die Geschichte der Mathematik interessiert, verweisen wir dich auf die Bücher von Bell [Bel45a], [Bel45b] und Struik [Str87]. Als Einführung in die hyperbolische Geometrie empfehlen wir das Buch von Greenberg [Gre74].

### Cayley-Klein-Geometrien

Lange Zeit war unklar, ob das System der hyperbolischen Geometrie tatsächlich frei von Widersprüchen war. Was fehlte, war ein Modell dieser Struktur, ein mathematisches Objekt, das Euklids erste vier Axiome und das veränderte Parallelenpostulat erfüllte. Beltrami war 1868 der erste, um ein solches Modell (mit kleineren Mängeln) zu konstruieren. Aber die volle Schönheit einer allgemeinen Theorie wurde erst gesehen, als Felix Klein, ein Schüler von Plücker, seine Version dessen präsentierte, das wir „Cayley-Klein-Geometrien" nennen; siehe zum Beispiel [Kle28b]. Was er gab, war im Wesentlichen eine Reduktion der hyperbolischen Geometrie auf Konstruktionen der Euklidischen Geometrie, die folgendes impliziert: „Wenn die Euklidische Geometrie frei von Widersprüchen ist, dann ist es auch die hyperbolische Geometrie." Dies löste endlich alle Probleme rundum Euklids fünftes Postulat.

Die Idee hinter Cayley-Klein-Geometrien besteht darin, die projektive Ebene zu verwenden und ein spezielles Kegelschnitt, das „fundamentale Objekt" auszuzeichnen. Eine spezielle Art globaler Messung wird definiert, die nur vom fundamentalen Objekt abhängt. Je nachdem, welche Art des fundamentalen Objekts du gewählt hast, erhältst du verschiedene Arten von Geometrien: Euklidische Geometrie, hyperbolische Geometrie, elliptische Geometrie, relativistische Geometrie und drei weitere Geometrien von geringerer Bedeutung.

Wir werden nicht in die Details der Cayley-Klein-Geometrien eingehen, aber wir werden die Hauptdefinitionen präsentieren und einige grundlegende Effekte demonstrieren. Wir brauchen zunächst das Konzept des Querverhältnisses: Für vier Punkte A, B, C und D auf einer Linie ist das Querverhältnis definiert als die Zahl

(A, B

wobei (A – C) den üblichen „Euklidischen Abstand" der Punkte A und C bezeichnet. Das Querverhältnis kann auch definiert werden, ohne sich auf den Begriff des Euklidischen Abstands zu beziehen, was für eine systematische Behandlung der Geometrie, die frei von zirkulären Schlussfolgerungen ist, wichtig ist.

Das Kreuzverhältnis

Das Querverhältnis ist von bemerkenswertem Wert in der projektiven Geometrie, da es unter Perspektivtransformationen invariant ist. Wenn du also vier Punkte A, B, C, und D auf einer Linie hast und sie zentral auf vier Punkte A′, B′, C′, und D′ auf einer anderen Linie projizierst, dann sind die Querverhältnisse der beiden Quadrupel von Punkten identisch.

Ebenso kann das Querverhältnis von vier Linien durch einen Punkt P definiert werden als das Querverhältnis von vier Punkten, die die Schnittpunkte jeder Linie mit einer anderen, vom Punkt P verschiedenen Linie sind.

Jetzt ist die Definition einer Cayley-Klein-Geometrie leicht. Wähle eine quadratische Form

x² + y² + cz² + exz + fyz = 0.

Die Nullstelle dieser Gleichung beschreibt einen (möglicherweise komplexen) Kegelschnitt in der projektiven Ebene. Dies ist das „fundamentale Objekt" der Geometrie. Jetzt werden Messungen von Winkeln und Abständen wie folgt definiert: Für den Abstand zwischen zwei Punkten A und B nimm die Linie, die sie verbindet. Der Schnitt dieser Linie mit dem fundamentalen Objekt sind zwei Punkte X und Y. Berechne das Querverhältnis (A, B | X, Y). Nimm den Logarithmus dieser Zahl und nenne das Ergebnis Abstand.

Winkel werden analog berechnet. Für den Winkel zwischen zwei Linien L und M nimm zunächst ihren Meet, das heißt ihren Schnittpunkt. Die Tangenten durch den Meet, die das fundamentale Objekt berühren, sind zwei Linien P und Q. Berechne das Querverhältnis (L, M | P, Q). Nimm den Logarithmus dieser Zahl und nenne das Ergebnis Winkel. Normalerweise werden diese beiden Funktionen mit einigen kosmetischen Konstanten r und s multipliziert, um mit den traditionellen Definitionen von Messungen übereinzustimmen.

dist(AB) = r·ln(A, B

Es mag sich nach Zauberei anhören, aber das ist alles, was du wissen musst. Abhängig von der Art des fundamentalen Objekts, das du gewählt hast, erhältst du verschiedene Arten von Geometrie. Bis auf Isomorphismus gibt es genau sieben verschiedene Arten von Geometrien, die du auf diese Weise erhältst. Die drei wichtigsten Wahlen für den fundamentalen Kegelschnitt sind die folgenden:

- Der Kreis gegeben durch x² + y² - z² = 0: Die resultierende Messung entspricht der hyperbolischen Geometrie.
- Der degenerierte Kegelschnitt beschrieben durch x² + y² = 0: Die resultierende Messung entspricht der üblichen Euklidischen Geometrie.
- Die Gleichung x² + y² + z² = 0 ohne reelle Lösungen: Die resultierende Messung entspricht der elliptischen Geometrie.

Zwei Dinge sind erwähnenswert:

- Abstände in der Euklidischen Geometrie benötigen eine kleine Drehung. Die Formeln der Cayley-Klein-Geometrie werden immer einen Abstand von Null ergeben. Dies ist darauf zurückzuführen, dass es in der Euklidischen Geometrie keine „absolute" Vorstellung von Abstand gibt. Jede Länge muss mit einer Einheitslänge verglichen werden. Die richtigen Formeln werden sofort in der Grenzsituation erhalten.

- Die Schnitte und Tangenten in den obigen Konstruktionen haben nicht notwendigerweise reelle Koordinaten. Zum Beispiel im Fall der elliptischen Geometrie hat das fundamentale Objekt überhaupt keine reellen Punkte. In diesem Fall sind die Schnitte des fundamentalen Objekts mit einer Linie immer komplex.

Der metrische Teil von Cinderella basiert auf Cayley-Klein-Geometrien. Alle Berechnungen von Längen, Winkeln, Orthogonalität, Kreisen etc. beziehen sich auf ein fundamentales Objekt.

Abschließend wollen wir mindestens einen Effekt zeigen, der durch diese allgemeine Theorie verursacht wird. Wir tun dies, um dir ein Gefühl dafür zu geben, was komplexe Zahlen, Querverhältnisse und projektive Geometrie mit Messungen zu tun haben.

Wir betrachten den Fall der Euklidischen Geometrie. Dort hat das fundamentale Objekt die Gleichung x² + y² = 0. Mit komplexen Zahlen kann diese quadratische Form in zwei lineare Formen zerlegt werden: x² + y² = (1·x + i·y + 0·z) und x² + y² = (1·x – i·y + 0·z). Die Punkte I := (1, i, 0) und J := (1, –i, 0), die in dieser Formel auftreten, spielen eine spezielle Rolle in der Euklidischen Geometrie. Sie werden von keiner Euklidischen Transformation beeinflusst. Auf eine sehr wohldefinierte Weise können wir sagen, dass „Euklidische Geometrie projektive Geometrie zusammen mit I und J ist."

Die Punkte I und J werden manchmal die imaginären Kreispunkte genannt, da sie eine sehr spezielle Beziehung zu Kreisen haben: jeder Euklidische Kreis verläuft durch I und J. Um dies zu sehen, betrachte eine allgemeine Kreisgleichung in homogenen Koordinaten:

x² + y² + cz² + exz + fyz = 0.

Jetzt setze die Koordinaten von I und J ein. Mit den Regeln zum Berechnen mit komplexen Zahlen beobachten wir, dass die Kreisgleichung offensichtlich erfüllt ist. Somit können wir sagen, dass ein Kreis ein spezieller Kegelschnitt ist, der durch I und J verläuft. Mit der Vorstellung eines Kreises ist es einfach zu definieren, was es bedeutet, gleiche Abstände oder gleiche Winkel zu haben. Die verbleibenden Konzepte der Euklidischen Geometrie können auf straightforward Weise abgeleitet werden. Eine sehr gute klassische Quelle zu Cayley-Klein-Geometrien findet sich in [Kle28b]. Eine moderne Behandlung dieser Themen, die auch eine breite Einführung in die projektive Geometrie umfasst, findet sich in [RGO09] und [RG11].

## Das Kontinuitätsprinzip

Es wurde im Vorwort dieses Handbuchs erwähnt, dass Cinderella einige grundlegende neue Methoden verwendet, um inkonsistentes Verhalten zu vermeiden. Das geometrische System, das wir in den vorherigen Abschnitten präsentiert haben, ist ein geschlossener Rahmen für das Betreiben von Geometrie, einschließlich Messungen. Es fehlt jedoch noch ein Element, das für Cinderella entscheidend ist: Dynamik. Die meisten anderen Systeme für interaktive Geometrie oder parametrische CAD leiden unter Inkonsistenzen, die aus einer unbefriedigenden Behandlung der speziellen Effekte der Dynamik stammen. Betrachte beispielsweise das „Theorem", dass die Winkelhalbierenden der Seiten eines Dreiecks sich in einem Punkt treffen. Jedes Paar von Linien hat zwei Winkelhalbierenden, die senkrecht zueinander stehen. Je nachdem, welche Winkelhalbierenden du wählst, kann die obige Aussage wahr oder falsch sein. Stelle dir nun vor, du hast eine Instanz dieses „Theorems" konstruiert (das heißt, du hast die richtigen Halbierenden gewählt). Du beginnst, die Eckpunkte zu verschieben, und plötzlich, ohne Grund, springt eine Winkelhalbierende in die andere Position und das „Theorem" wird falsch. Ein solches Szenario kann in jedem System passieren, das keine zusätzlichen Maßnahmen ergreift, um die speziellen Probleme aus den dynamischen Aspekten der Geometrie zu lösen.

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